直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：单选题

单选题

曲线y=ax2与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1、x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么（　　）

Ax3=x1+x2

Cx1x3=x2x3+x1x2

Dx1x2=x2x3+x3x1

正确答案

解析

解：联立直线与曲线方程可得ax2-kx-b=0

则可得，，

∴x1x2=x1x3+x2x3

故选D．

题型：简答题

简答题

已知椭圆，A、B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点．其中，|PF|的最小值是，△PFA的面积最大值是．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，直线BM⊥AB，BM交AP于M，OM交BP于N，求点N到点Q（0，2）的距离的最大值．

正确答案

解：（I）|PF|=a+ex≥a-c=2，=，

联立，解得a=2，b=c=．

∴该椭圆的方程为；

（II）设M（2，m），则直线AM的方程为：．

代入椭圆的方程可得（m2+8）x2+4m2x+4m2-32=0，

∴，化为．

∴==．

由直线BP：，

直线OM的方程为：．

联立，化为y2=-x（x-2）（x≠0）．

即（x-1）2+y2=1（x≠0），圆心C（1，0），半径r=1．

∴|QN|min=|CN|+1=．

解析

解：（I）|PF|=a+ex≥a-c=2，=，

联立，解得a=2，b=c=．

∴该椭圆的方程为；

（II）设M（2，m），则直线AM的方程为：．

代入椭圆的方程可得（m2+8）x2+4m2x+4m2-32=0，

∴，化为．

∴==．

由直线BP：，

直线OM的方程为：．

联立，化为y2=-x（x-2）（x≠0）．

即（x-1）2+y2=1（x≠0），圆心C（1，0），半径r=1．

∴|QN|min=|CN|+1=．

题型：填空题

填空题

已知抛物线y2=2px（p＞0）上有A、B两点，且OA⊥OB，直线AB与x轴相交于点P，则点P的坐标为______．

正确答案

（2p，0）

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），且y12=2px1，y22=2px2，

若OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．

代入抛物线方程可得y2-2pmy-2pn=0，

∴x1x2+y1y2=+y1y2=0，

∴y1y2=-4p2=-2pn，

∴n=2p，

即直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．

故答案为：（2p，0）．

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标为（3，3），=6．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）

∵，点Q坐标为（3，3），

∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）

∴椭圆C的方程为．（4分）

（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去x并整理得，8y2+12y-27=0．（6分）

∴，，（7分）

∴==，

∴．（9分）

∵直线AB与x轴的交点为M（1，0），

∴△AOB的面积S△AOB=S△OMA+S△OMB

=|OM|•（|y1|+|y2|）

=．（12分）

方法二：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去y，并整理得2x2-2x-3=0，（6分）

∴，，（7分）

∴|AB|=

==，（9分）

∵点O到直线AB的距离d==，（10分）

∴△AOB的面积S△AOB===．（12分）

解析

解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）

∵，点Q坐标为（3，3），

∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）

∴椭圆C的方程为．（4分）

（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去x并整理得，8y2+12y-27=0．（6分）

∴，，（7分）

∴==，

∴．（9分）

∵直线AB与x轴的交点为M（1，0），

∴△AOB的面积S△AOB=S△OMA+S△OMB

=|OM|•（|y1|+|y2|）

=．（12分）

方法二：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，

即3x-2y-3=0．（5分）

设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由，消去y，并整理得2x2-2x-3=0，（6分）

∴，，（7分）

∴|AB|=

==，（9分）

∵点O到直线AB的距离d==，（10分）

∴△AOB的面积S△AOB===．（12分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过点M（1，1）能否作一条直线l，使直线l与椭圆交与A，B两点，且使得M是线段AB的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）∵椭圆C的顶点为A（2，0），

∴a=2，

又∵e==，

∴c=，

∵b=，

∴椭圆C的方程为：．

（2）当过点M的直线斜率不存在时，显然不成立，

设直线的斜率为k，则其方程为：

y-1=k（x-1），

联立方程组，

消去y并整理，得

（1+2k2）x2-4（k2-k）x+2k2-4k-2=0，

∴△=16（k2-k）2-4（1+2k2）（2k2-4k-2）＞0，

整理，得

3k2+2k+1＞0，

∴k∈R，

∵x1+x2=，

且点M（1，1）是线段AB的中点，

∴=2，

∴k=-，

故存在这样的直线，此时，直线方程为：

y-1=-（x-1），

即x+2y-3=0，

∴存在符合条件的直线，它的方程x+2y-3=0．

解析

解：（1）∵椭圆C的顶点为A（2，0），

∴a=2，

又∵e==，

∴c=，

∵b=，

∴椭圆C的方程为：．

（2）当过点M的直线斜率不存在时，显然不成立，

设直线的斜率为k，则其方程为：

y-1=k（x-1），

联立方程组，

消去y并整理，得

（1+2k2）x2-4（k2-k）x+2k2-4k-2=0，

∴△=16（k2-k）2-4（1+2k2）（2k2-4k-2）＞0，

整理，得

3k2+2k+1＞0，

∴k∈R，

∵x1+x2=，

且点M（1，1）是线段AB的中点，

∴=2，

∴k=-，

故存在这样的直线，此时，直线方程为：

y-1=-（x-1），

即x+2y-3=0，

∴存在符合条件的直线，它的方程x+2y-3=0．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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