热门试卷

解：（1）∵点A的坐标为（，）

∴，椭圆方程为                 ①

又∵．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），

∴．

又∵，

∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，

易得C点坐标为（，）

将（，）代入①式得b2=4

∴椭圆M的方程为

（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t

则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2

当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t

由

得（3k2+1）x2+6ktx+3t2-12=0

∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，

∴△=（6kt）2-4（3k2+1）（3t2-12）＞0

即t2＜4+12k2 ②

设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=-，x1x2=，

PQ中点H（x0，y0），

则H的横坐标，

纵坐标，

D点的坐标为（0，-2）

由，

得DH⊥PQ，kDH•kPQ=-1，

即，

即t=1+3k2．                                       ③

∴k2＞0，∴t＞1．                                 ④

由②③得0＜t＜4，

结合④得到1＜t＜4．

综上所述，-2＜t＜4．

解：（1）由p（），O（0，0），

∴kOP=，线段OP的中点为：（），

∴OP的垂直平分线所在直线方程y-，即2x+y-2=0．

令y=0，解得：x=1，故得：p=2

抛物线方程为：y2=4x…..（4分）

（2）假设直线MN国定点

设A（xA，yA），B （xB，yB），M（xM，yM），

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）

与抛物线联立可得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0

由韦达定理：xA+xB=2+

∴xM=+1

∴点M的坐标为（+1，-2k）

当k≠±1

直线MN的斜率为：

方程为：y+2k=（x-2k2-1

整理得：y（1-k2）=k（x-3）

直线恒经过定点（3，0）

当k=±1时，直线MN方程为X=3，经过（3，0）

综上，不论k为何值，直线MN恒过定点（3，0）…（12分）

解：（1）由题意，F1（-1，0），F2（1，0），c=1，…（1分）

C△=|PF1|+|PF2|+2c=2a+2c=8…（2分）

∴…（3分）

∴椭圆方程为…（4分）

（2）由（1）知，设直线PE方程：得y=k（x-1）+，代入，

得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4（-k）2-12=0…（6分）

设E（xE，yE），F（xF，yF）．

∵点P（1，）在椭圆上，

∴xE=，yE=kxE+-k，…（12分）

又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，

可得xF=，yF=-kxF++k，…（13分）

∴直线EF的斜率kEF==．

即直线EF的斜率为定值，其值为…（15分）

解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，

l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）

依题意有，

由

∴

若k=±1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1∴

由

故l的方程为

（ii）当b=0时，由（1）得

由

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况．

设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，综上所述，

故l的方程为、和