直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r=1，P在圆C上运动．

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

正确答案

解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得

所以圆C的极坐标方程为…（5分）

（Ⅱ）圆C的极坐标方程为可化成直角坐标方程为：

设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，

∴，

则Q的直角坐标方程为…（10分）

解析

解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得

所以圆C的极坐标方程为…（5分）

（Ⅱ）圆C的极坐标方程为可化成直角坐标方程为：

设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，

∴，

则Q的直角坐标方程为…（10分）

题型：简答题

简答题

已知半圆x2+y2=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切

（Ⅰ）求动圆圆心轨迹，并画出轨迹图形

（Ⅱ）在所求轨迹曲线上求点P，使得点P与定点Q（0，6）的距离为5．

正确答案

解：（I）设动圆圆心M（x，y）作MN⊥x轴于N

①若两圆外切，|MO|=|MN|+2，∴

x2+y2=y2+4y+4，∴x2=4（y+1）（y＞0）．

②若两圆内切，|MO|=2-|MN|，∴

x2+y2=y2-4y+4∴x2=-4（y-1）（y＞0）．

综上，动圆圆心的轨迹方程是x2=4（y+1）（y＞0）及x2=-4（y-1）（y＞0）

其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分；作图如右：

（II）设点P坐标（x，y）

当|x|＞2时，

解得：y=3或5，∴点P坐标

当|x|＜2时，y∈（0，1]，

解得：y=1或y=15（舍），进而求得x=0，∴点P坐标（0，1）

故点P坐标为．

解析

解：（I）设动圆圆心M（x，y）作MN⊥x轴于N

①若两圆外切，|MO|=|MN|+2，∴

x2+y2=y2+4y+4，∴x2=4（y+1）（y＞0）．

②若两圆内切，|MO|=2-|MN|，∴

x2+y2=y2-4y+4∴x2=-4（y-1）（y＞0）．

综上，动圆圆心的轨迹方程是x2=4（y+1）（y＞0）及x2=-4（y-1）（y＞0）

其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分；作图如右：

（II）设点P坐标（x，y）

当|x|＞2时，

解得：y=3或5，∴点P坐标

当|x|＜2时，y∈（0，1]，

解得：y=1或y=15（舍），进而求得x=0，∴点P坐标（0，1）

故点P坐标为．

题型：单选题

单选题

设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（　　）

D±2

正确答案

解析

解：将直线与椭圆方程联立，，

化简整理得（3+4k2）x2=12（*）

因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，

故方程的两个根为±1．代入方程（*），得k=

故选A．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．

（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；

（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）证明：由题知，

联立x+y=m与y2=2px，消去x可得y2+2py-2pm=0…（*）

∵p＞0且，∴△=4p2+8pm＞0，

所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点； …4分

（Ⅱ）解：设Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=-2p，y1•y2=-2pm

故

=2y1y2+（1-m）（y1+y2）+（m-1）2=m2-（2+2p）m+1-2p=0

∴

又由原点O到直线l的距离不大于，则有，

由（Ⅰ）有，即，结合，化简该不等式得：5m2+2m+1＞0，恒成立，

∴，令t=m+1，则

而函数在上单调递减，∴

∴存在m且，实数p的取值范围为．…10分．

解析

（Ⅰ）证明：由题知，

联立x+y=m与y2=2px，消去x可得y2+2py-2pm=0…（*）

∵p＞0且，∴△=4p2+8pm＞0，

所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点； …4分

（Ⅱ）解：设Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=-2p，y1•y2=-2pm

故

=2y1y2+（1-m）（y1+y2）+（m-1）2=m2-（2+2p）m+1-2p=0

∴

又由原点O到直线l的距离不大于，则有，

由（Ⅰ）有，即，结合，化简该不等式得：5m2+2m+1＞0，恒成立，

∴，令t=m+1，则

而函数在上单调递减，∴

∴存在m且，实数p的取值范围为．…10分．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）短轴端点和两个焦点的连线构成正方形，且该正方形的内切圆方程为x2+y2=2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的一个焦点F重合，直线l：y=x+m与抛物线E交于两点A，B，且0≤m≤1，求△FAB的面积的最大值．

正确答案

解：（1）设椭圆的焦距为2c，根据题意得b=c；

连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是+=1，

即x+y-b=0；

由直线与圆相切得=，

∴b=2，c=2；

∴a2=b2+c2=8，

∴椭圆C的方程为+=1；（6分）

（2）∵抛物线E的焦点在x轴的正半轴上，

∴F（2，0），p=4，

∴抛物线E的方程为y2=8x；

由，得x2+（2m-8）x+m2=0，

由直线l与抛物线E有两个不同交点，

得△=（2m-8）2-4m2=64-32m＞0在0≤m≤1时恒成立；

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=8-2m，x1x2=m2；

则|AB|=

=8；

又∵点F（2，0）到直线l：y=x+m的距离为d=，

∴△FAB的面积为

S=d•|AB|=2；

令f（m）=-m3-2m2+4m+8，

则f‘（m）=-3m2-4m+4；

令f'（m）=0，得m=-2或，

∴f（m）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，

∴当m=时，f（m）取最大值，

即△FAB的面积的最大值为．（12分）

解析

解：（1）设椭圆的焦距为2c，根据题意得b=c；

连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是+=1，

即x+y-b=0；

由直线与圆相切得=，

∴b=2，c=2；

∴a2=b2+c2=8，

∴椭圆C的方程为+=1；（6分）

（2）∵抛物线E的焦点在x轴的正半轴上，

∴F（2，0），p=4，

∴抛物线E的方程为y2=8x；

由，得x2+（2m-8）x+m2=0，

由直线l与抛物线E有两个不同交点，

得△=（2m-8）2-4m2=64-32m＞0在0≤m≤1时恒成立；

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=8-2m，x1x2=m2；

则|AB|=

=8；

又∵点F（2，0）到直线l：y=x+m的距离为d=，

∴△FAB的面积为

S=d•|AB|=2；

令f（m）=-m3-2m2+4m+8，

则f‘（m）=-3m2-4m+4；

令f'（m）=0，得m=-2或，

∴f（m）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，

∴当m=时，f（m）取最大值，

即△FAB的面积的最大值为．（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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