热门试卷

解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之和为定值，

所以点P的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆．…（2分）

又，c=1，所以b=1，

故所求方程为．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

由，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．…（5分）

（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），

代入x2+2y2=2并整理得，（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0，

依题意，△＞0，则 ，，

从而可得点C的坐标为，．

因为，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）

（ⅱ）若AB⊥x轴时，，由，

得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．

因此直线AB的斜率存在．…（9分）

由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时，有n=k，点C的坐标为．

代入x2+2y2=2得，，即4k2=1+2k2，

所以．                   …（11分）

（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．

故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高，所求等腰三角形的面积．

（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，

同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．

综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．…（13分）

解：（1）经过F与B（0，b）的直线方程为x+=1．

∵经过F与B（0，b）的直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d=，

∴b=，

∵c=1，

∴=2，

∴椭圆C的方程为；

（2）可设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消y并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

△=（-8k2）2-4（4k2+3）（4k2-12）＞0恒成立．

=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]

=（1+k2）（-+1）=，

令1+k2=t（t≥1），则==，

∵t≥1，∴-4＜≤-3，

∴-3≤＜-

即的最小值为-3．

（I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y2），

根据题意得：⇒，

∵y1，y2同号，∴y2=2y1，

设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，

∴|AB|=|y1|，|CD|=|y3|，

由⇒（4k2+1）x2+8kx-12=0，△＞0恒成立，

则，，

∵A、C在x轴的两侧，∴y1y3＜0，

∴（kx1+1）（kx3+1）=k2x1x3+k（x1+x3）+1=＜0，

∴，

∴||AB|-|CD||=||y1|-|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=∈（0，）；

（II）解：∵直线BD的斜率=2k，

∴直线BD的方程为y=2k（x-x1）+2y1=2kx-2（kx1-y1），

∵y1=kx1+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2，

∴直线BD过定点（0，2）．