- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
（2015秋•三明校级月考）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：
又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为
∴
又a2=b2+c2∴
∴a2=3…（4分）
∴椭圆的方程为：
（2）设P（xP，yP）、M（xM，yM）、N（xN，yN），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2-12（3k2+1）（m2-1）＞0，∴m2＜3k2+1，①
由韦达定理，可得P（
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴
∴2m=3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2
∵2m=3k2+1＞1，∴m＞
∴
解析
解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的方程为：
又椭圆的一个顶点为A（0，-1），离心率为
∴
又a2=b2+c2∴
∴a2=3…（4分）
∴椭圆的方程为：
（2）设P（xP，yP）、M（xM，yM）、N（xN，yN），P为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）2-12（3k2+1）（m2-1）＞0，∴m2＜3k2+1，①
由韦达定理，可得P（
∵|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，
∴
∴2m=3k2+1②
把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2
∵2m=3k2+1＞1，∴m＞
∴
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：由椭圆
设直线AF1，BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my．A（x1，y1），B（x2，y2）．（y1＞0，y2＞0）．
联立
解得
∴|AF1|=
同理可得|BF2|=
∴|AF1|-|BF2|=
解得m=1．
故选：D．
过点A（-1，0）作抛物线y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为B、C，且△ABC是正三角形，则抛物线方程为______．
正确答案
y2=
解析
解：由题意，不妨设直线AB的方程为y=
∴△=（2-6p）2-4=0
∴2-6p=±2
∴p=0或p=
∵p＞0
∴p=
∴抛物线方程为y2=
故答案为：y2=
已知直线y=kx+1 与抛物线x2=4y 相交于A，B两点，且该抛物线过A，B两点的切线交于C，点C的轨迹记为E，M，N是E上不同的两点，直线AM，BN都与y轴平行，则
正确答案
-4k2-4k4
解析
解：如图所示，设A
联立
由x2=4y得
∴过点A，B的切线的斜率分别为：
∴抛物线过A，B两点的切线分别为：
两式相加可得2y=
把x1+x2=4k，x1x2=-4代入可得y=kx-2k2-1．即为E点的轨迹方程．
令x=x1，则yM=
同理可得N
又F（0，1），
∴
故答案为：-4k2-4k4．
与椭圆
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设双曲线的方程为
∵
∴双曲线中的c2=5①
∵双曲线过点
∴
∵c2=a2+b2③
解①②③得a2=1，b2=4
∴
故选D
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