热门试卷

解：（I）∵|PF1|+|PF2|=4，

∴2a=4，a=2．

∴椭圆E：，

将P代入可得b2=3，

∴椭圆E的方程为．

（II）①当AC的斜率为零或斜率不存在时，=；

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，并化简得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0．

设A（x1，y1），C（x2，y2），

则，

，

∵直线BD的斜率为，

∴|BD|==，

∴=，

综上：，

∴，

∴存在常数使得成等差数列．

解：（Ⅰ）由题意可知，

e2==（）2，则b2=1；

则椭圆E的方程为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，F2（1，0），

联立动直线和椭圆方程可得，

，

则（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0；

由△=0可得，

2k2=m2-1，且P（-，），Q（2，2k+m）；

∴•=（--1，）•（1，2k+m）

=--1+（2k+m）=0，

∴⊥，

∴以线段PQ为直径的圆恒过定点F2．

解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，

∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，

设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），

∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，

∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，

∴d2+=，即（）2+=，

解得k=，即直线FM的斜率为；

（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），

联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx-5c2=0，解得x=-c，或x=c，

∵点M在第一象限，∴M（c，c），

∵|FM|=，∴=，

解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，

即椭圆的方程为+=1；

（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，

∵F（-1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠-1），

联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，

又∵直线FP的斜率大于，

∴＞，6-2x2＞6（x+1）2，

整理得：x（2x+3）＜0且x≠-1，

解得-＜x＜-1，或-1＜x＜0，

设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），

联立方程组，消去y并整理，得m2=-．

①当x∈（-，-1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，

∴m=，∴m∈（，）；

②当x∈（-1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，

∴m=-，∴m∈（-∞，-）；

综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（-∞，-）∪（，）．

解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，

所以椭圆方程为．…（4分）

（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．

当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R； …（6分）

当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程化简得：

（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

则

==…（10分）

若∠PNM=∠QNM，则kPN+kQN=0

即=0，整理得4k（x0-4）=0

因为k∈R，所以x0=4

综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…（12分）