热门试卷

解：（Ⅰ）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，∴b2=3，故轨迹E的方程为．…（3分）

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-2），与双曲线方程联立消y得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

∴，解得k2＞3

（i）∵=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2）（x2-2）

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+m2+4k2

==…（7分）

假设存在实数m，使得，

故得3（1-m2）+k2（m2-4m-5）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴，解得m=-1．∴当m=-1时，．

当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，

综上，存在m=-1，使得．

（ii）∵a=1，c=2，∴直线是双曲线的右准线，

由双曲线定义得：，，

∴==．

∵k2＞3，∴，∴

注意到直线的斜率不存在时，，综上，．

解：（Ⅰ）由题设，点A（-a，0），B（0，b），F1（-c，0），F2（c，0），其中．（1分）

因为，则．

设点P（x0，y0）

，则，所以，．（3分）

因为点P在双曲线上，所以，即（c-a）2=4a2．（4分）

因为c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故离心率．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，则b2=c2-a2=8a2．（7分）

若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．

设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x2-（kx+m）2=8a2，即（8-k2）x2-2kmx-m2-8a2=0．（*）（9分）

若k2=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．

设点M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0），则，，．（10分）

若点Q在直线y=2x上，则．

因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k=4．（11分）

此时，方程（*）可化为8x2+8mx+m2+8a2=0．

由△=82m2-4×8（m2+8a2）＞0，得m2＞8a2．（12分）

又M、N在双曲线C的右支上，则x1+x2=-m＞0，所以．

故直线MN在y轴上的截距的取值范围是．（13分）

解：设B（x1，y1）、C（x2，y2）、M（x，y），直线BC：y-1=k（x+1）

由于椭圆=1可化为：x2+2y2=8．

则x12+2y12=8①，x22+2y22=8②°•

①-②得：（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0

整理得：•=-1

化简得：k==-，代入y-1=k（x+1），

整理得：x2+2y2+x-2y=0，

若BC的斜率不存在，易得中点为（-1，0）上式显然成立，

故即为BC的中点M的轨迹方程为x2+2y2+x-2y=0（椭圆内部部分）．