- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
(理科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.
①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;
②求的取值范围.
正确答案
解:(1)由已知可得:点C到P的距离与到定直线l的距离相等.
所以圆心C的轨迹是以p为焦点,定直线l为准线的抛物线,
∴所求抛物线的方程为:x2=4y.
(2)①设AB:y=kx+b,由,消去y得:x2-4kx-4b=0.
∴x1+x2=4k.x1x2=-4b,∵x1x2=-16,
∴b=4,∴直线AB过定点(0,4).
②由抛物线的定义可知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1,
∴=
=
y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k.x1x2=-16,
=
=
=
,
∴所求的取值范围是
.
解析
解:(1)由已知可得:点C到P的距离与到定直线l的距离相等.
所以圆心C的轨迹是以p为焦点,定直线l为准线的抛物线,
∴所求抛物线的方程为:x2=4y.
(2)①设AB:y=kx+b,由,消去y得:x2-4kx-4b=0.
∴x1+x2=4k.x1x2=-4b,∵x1x2=-16,
∴b=4,∴直线AB过定点(0,4).
②由抛物线的定义可知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1,
∴=
=
y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k.x1x2=-16,
=
=
=
,
∴所求的取值范围是
.
如图,在直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)求x1x2与y1 y2的值;
(2)以线段MN为直径作圆H(H为圆心),证明抛物线的顶点在圆H的圆周上.
正确答案
解:(1)因为直线l不可能是X轴,所以设l的方程为x=my+2,
将其代入y2=2x,消去x可得y2-2my-4=0,
点M,N的纵坐标y1与y2是上述方程的根,故y1•y2=-4.
由y12=2x1,y22=2x2,相乘得(y1y2)2=4x1x2,
所以x1•x2==4.
(2)证明:直线OM,ON斜率分别为k1,k2,
则.
因此k1•k2==-1.
所以OM⊥ON.
所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.
解析
解:(1)因为直线l不可能是X轴,所以设l的方程为x=my+2,
将其代入y2=2x,消去x可得y2-2my-4=0,
点M,N的纵坐标y1与y2是上述方程的根,故y1•y2=-4.
由y12=2x1,y22=2x2,相乘得(y1y2)2=4x1x2,
所以x1•x2==4.
(2)证明:直线OM,ON斜率分别为k1,k2,
则.
因此k1•k2==-1.
所以OM⊥ON.
所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.
已知双曲线C:-
=1(a>0,b>0),设P是双曲线C上任意一点,O为坐标原点,设F为双曲线右焦点.
(1)若双曲线C满足:无论点P在右支的何处,总有|PO|>|PF|,求双曲线C在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围;
(2)过右焦点F的动直线l交双曲线于A、B两点,是否存在这样的a,b的值,使得△OAB为等边三角形.若存在,求出所有满足条件的a,b的值;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(1)|OP|==
(x≤-a或x≥a);------(2分)
|PF|=|-a|,
∵|PO|>|PF|,
∴|PO|2>|PF|2,
∴2x>c(x≥a)恒成立,------(4分)
∴c<(2x)min=2a,
∴a2+b2<4a2,
∴0<<
,------(5分)
设所求的倾斜角为θ,则0<tanθ,得0<θ<
.------(6分)
(2)由|OA|=|OB|及(1)得xA2=xB2,∴yA2=yB2,
于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的,
若关于原点对称,则A、O、B、F共线,这是不可能的;------(8分)
若关于y轴对称,则AB∥x轴,这也是不可能的;------(10分)
若关于x轴对称,则AB∥y轴,又A、F、B共线,∴A、B都在右支上,
于是由Rt△OAF的各边关系,得|AB|=2|AF|=且|OA|=
,
∴,即a4+a2b2-3b4=0,(12分)
设b=m>0,则a=m,
∴存在这样的a=m,b=m(其中m为正常数),使△OAB为等边三角形.------(14分)
解析
解:(1)|OP|==
(x≤-a或x≥a);------(2分)
|PF|=|-a|,
∵|PO|>|PF|,
∴|PO|2>|PF|2,
∴2x>c(x≥a)恒成立,------(4分)
∴c<(2x)min=2a,
∴a2+b2<4a2,
∴0<<
,------(5分)
设所求的倾斜角为θ,则0<tanθ,得0<θ<
.------(6分)
(2)由|OA|=|OB|及(1)得xA2=xB2,∴yA2=yB2,
于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的,
若关于原点对称,则A、O、B、F共线,这是不可能的;------(8分)
若关于y轴对称,则AB∥x轴,这也是不可能的;------(10分)
若关于x轴对称,则AB∥y轴,又A、F、B共线,∴A、B都在右支上,
于是由Rt△OAF的各边关系,得|AB|=2|AF|=且|OA|=
,
∴,即a4+a2b2-3b4=0,(12分)
设b=m>0,则a=m,
∴存在这样的a=m,b=m(其中m为正常数),使△OAB为等边三角形.------(14分)
设直线l(斜率存在)交抛物线y2=2px(p>0,且p是常数)于两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且满足=x1x2+2(y1+y2).
(1)若y1+y2=-1,求直线l的斜率与p之间的关系;
(2)求证:直线l过定点;
(3)设(1)中的定点为P,若点M在射线PA上,满足,求点M的轨迹方程.
正确答案
解:(1)设直线l的方程为y=kx+b,由,得ky2-2py+2pb=0,
由题知k≠0,△=4p2-8kpb>0,且.
又y1+y2=-1,∴k=-2p.
∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-2p.
(2)由(1),有,
又+2(y1+y2),
∴y1y2=2(y1+y2).则,得b=2.
∴直线l的方程为y=kx+2.
∴直线l过定点(0,2).
(3)分别过点A、M、B向y轴作垂线,垂足分别为A′,M′,B′,
设M(x,y),由,
可得.
∴,∴
.
∴=
=
,
∴,∴
,
∵△=4p2-16kp>0,∴1<y<3,y≠2.
∵y=kx+2,∴.
∴点M的轨迹方程为.
解析
解:(1)设直线l的方程为y=kx+b,由,得ky2-2py+2pb=0,
由题知k≠0,△=4p2-8kpb>0,且.
又y1+y2=-1,∴k=-2p.
∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-2p.
(2)由(1),有,
又+2(y1+y2),
∴y1y2=2(y1+y2).则,得b=2.
∴直线l的方程为y=kx+2.
∴直线l过定点(0,2).
(3)分别过点A、M、B向y轴作垂线,垂足分别为A′,M′,B′,
设M(x,y),由,
可得.
∴,∴
.
∴=
=
,
∴,∴
,
∵△=4p2-16kp>0,∴1<y<3,y≠2.
∵y=kx+2,∴.
∴点M的轨迹方程为.
如图,与抛物线C1:y=x2相切于点P(a,a2)的直线l与抛物线C2:y=-x2相交于A,B两点,抛物线C2在A,B处的切线相交于点Q.
(1)求证:点Q在抛物线C1上;
(2)若∠QAB是直角,求实数a的值.
正确答案
证明:(I)∵y′=2x
∴y′|x=a=2a,直线l的方程为y-a2=2a(x-a)(2分)
令A(),B(
),由方程
,消去y可得x2+2ax-a2=0
∴(4分)
∵y′|x=x1=-2x1,
∴切线QA的方程(1)
切线QB的方程(2)
(1)(2)联立可得即Q (-a,a2)
∴点Q在抛物线C1上(7分)
(II)若∠QAB=90°,则
∴
∴+a4-a2=0(11分)
∵=8a4
由于a(x2-x1)始终为负值
∴(13分)
∴
∴(15分)
解法二:若∠QAB=90°,则
∴
整理可得,(1)(11分)
∴x1+x2=-2a,消去x2得
,解得
由于x1与a同号∴ (2)(13分)
把(2)代入(1)可得,(12-8)a2=
∴(15分)
解析
证明:(I)∵y′=2x
∴y′|x=a=2a,直线l的方程为y-a2=2a(x-a)(2分)
令A(),B(
),由方程
,消去y可得x2+2ax-a2=0
∴(4分)
∵y′|x=x1=-2x1,
∴切线QA的方程(1)
切线QB的方程(2)
(1)(2)联立可得即Q (-a,a2)
∴点Q在抛物线C1上(7分)
(II)若∠QAB=90°,则
∴
∴+a4-a2=0(11分)
∵=8a4
由于a(x2-x1)始终为负值
∴(13分)
∴
∴(15分)
解法二:若∠QAB=90°,则
∴
整理可得,(1)(11分)
∴x1+x2=-2a,消去x2得
,解得
由于x1与a同号∴ (2)(13分)
把(2)代入(1)可得,(12-8)a2=
∴(15分)
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