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题型:简答题
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简答题

(理科)一动圆过定点P(0,1),且与定直线l:y=-1相切.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程;

(2)若(1)中的轨迹上两动点记为A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2=-16.

①求证:直线AB过一定点,并求该定点坐标;

②求的取值范围.

正确答案

解:(1)由已知可得:点C到P的距离与到定直线l的距离相等.

所以圆心C的轨迹是以p为焦点,定直线l为准线的抛物线,

∴所求抛物线的方程为:x2=4y.

(2)①设AB:y=kx+b,由,消去y得:x2-4kx-4b=0.

∴x1+x2=4k.x1x2=-4b,∵x1x2=-16,

∴b=4,∴直线AB过定点(0,4).

②由抛物线的定义可知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1,

==

y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k.x1x2=-16,

===

∴所求的取值范围是

解析

解:(1)由已知可得:点C到P的距离与到定直线l的距离相等.

所以圆心C的轨迹是以p为焦点,定直线l为准线的抛物线,

∴所求抛物线的方程为:x2=4y.

(2)①设AB:y=kx+b,由,消去y得:x2-4kx-4b=0.

∴x1+x2=4k.x1x2=-4b,∵x1x2=-16,

∴b=4,∴直线AB过定点(0,4).

②由抛物线的定义可知:|PA|=y1+1,|PB|=y2+1,

==

y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=4k.x1x2=-16,

===

∴所求的取值范围是

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简答题

如图,在直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.

(1)求x1x2与y1 y2的值;

(2)以线段MN为直径作圆H(H为圆心),证明抛物线的顶点在圆H的圆周上.

正确答案

解:(1)因为直线l不可能是X轴,所以设l的方程为x=my+2,

将其代入y2=2x,消去x可得y2-2my-4=0,

点M,N的纵坐标y1与y2是上述方程的根,故y1•y2=-4.

由y12=2x1,y22=2x2,相乘得(y1y22=4x1x2

所以x1•x2==4.

(2)证明:直线OM,ON斜率分别为k1,k2

因此k1•k2==-1.

所以OM⊥ON.

所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.

解析

解:(1)因为直线l不可能是X轴,所以设l的方程为x=my+2,

将其代入y2=2x,消去x可得y2-2my-4=0,

点M,N的纵坐标y1与y2是上述方程的根,故y1•y2=-4.

由y12=2x1,y22=2x2,相乘得(y1y22=4x1x2

所以x1•x2==4.

(2)证明:直线OM,ON斜率分别为k1,k2

因此k1•k2==-1.

所以OM⊥ON.

所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.

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简答题

已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),设P是双曲线C上任意一点,O为坐标原点,设F为双曲线右焦点.

(1)若双曲线C满足:无论点P在右支的何处,总有|PO|>|PF|,求双曲线C在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围;

(2)过右焦点F的动直线l交双曲线于A、B两点,是否存在这样的a,b的值,使得△OAB为等边三角形.若存在,求出所有满足条件的a,b的值;若不存在,说明理由.

正确答案

解:(1)|OP|==(x≤-a或x≥a);------(2分)

|PF|=|-a|,

∵|PO|>|PF|,

∴|PO|2>|PF|2

∴2x>c(x≥a)恒成立,------(4分)

∴c<(2x)min=2a,

∴a2+b2<4a2

∴0<,------(5分)

设所求的倾斜角为θ,则0<tanθ,得0<θ<.------(6分)

(2)由|OA|=|OB|及(1)得xA2=xB2,∴yA2=yB2

于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的,

若关于原点对称,则A、O、B、F共线,这是不可能的;------(8分)

若关于y轴对称,则AB∥x轴,这也是不可能的;------(10分)

若关于x轴对称,则AB∥y轴,又A、F、B共线,∴A、B都在右支上,

于是由Rt△OAF的各边关系,得|AB|=2|AF|=且|OA|=

,即a4+a2b2-3b4=0,(12分)

设b=m>0,则a=m,

∴存在这样的a=m,b=m(其中m为正常数),使△OAB为等边三角形.------(14分)

解析

解:(1)|OP|==(x≤-a或x≥a);------(2分)

|PF|=|-a|,

∵|PO|>|PF|,

∴|PO|2>|PF|2

∴2x>c(x≥a)恒成立,------(4分)

∴c<(2x)min=2a,

∴a2+b2<4a2

∴0<,------(5分)

设所求的倾斜角为θ,则0<tanθ,得0<θ<.------(6分)

(2)由|OA|=|OB|及(1)得xA2=xB2,∴yA2=yB2

于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的,

若关于原点对称,则A、O、B、F共线,这是不可能的;------(8分)

若关于y轴对称,则AB∥x轴,这也是不可能的;------(10分)

若关于x轴对称,则AB∥y轴,又A、F、B共线,∴A、B都在右支上,

于是由Rt△OAF的各边关系,得|AB|=2|AF|=且|OA|=

,即a4+a2b2-3b4=0,(12分)

设b=m>0,则a=m,

∴存在这样的a=m,b=m(其中m为正常数),使△OAB为等边三角形.------(14分)

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简答题

设直线l(斜率存在)交抛物线y2=2px(p>0,且p是常数)于两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且满足=x1x2+2(y1+y2).

(1)若y1+y2=-1,求直线l的斜率与p之间的关系;

(2)求证:直线l过定点;

(3)设(1)中的定点为P,若点M在射线PA上,满足,求点M的轨迹方程.

正确答案

解:(1)设直线l的方程为y=kx+b,由,得ky2-2py+2pb=0,

由题知k≠0,△=4p2-8kpb>0,且

又y1+y2=-1,∴k=-2p.

∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-2p.

(2)由(1),有

+2(y1+y2),

∴y1y2=2(y1+y2).则,得b=2.

∴直线l的方程为y=kx+2.

∴直线l过定点(0,2).

(3)分别过点A、M、B向y轴作垂线,垂足分别为A′,M′,B′,

设M(x,y),由

可得

,∴

==

,∴

∵△=4p2-16kp>0,∴1<y<3,y≠2.

∵y=kx+2,∴

∴点M的轨迹方程为

解析

解:(1)设直线l的方程为y=kx+b,由,得ky2-2py+2pb=0,

由题知k≠0,△=4p2-8kpb>0,且

又y1+y2=-1,∴k=-2p.

∴直线l的斜率k与p之间的关系为k=-2p.

(2)由(1),有

+2(y1+y2),

∴y1y2=2(y1+y2).则,得b=2.

∴直线l的方程为y=kx+2.

∴直线l过定点(0,2).

(3)分别过点A、M、B向y轴作垂线,垂足分别为A′,M′,B′,

设M(x,y),由

可得

,∴

==

,∴

∵△=4p2-16kp>0,∴1<y<3,y≠2.

∵y=kx+2,∴

∴点M的轨迹方程为

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简答题

如图,与抛物线C1:y=x2相切于点P(a,a2)的直线l与抛物线C2:y=-x2相交于A,B两点,抛物线C2在A,B处的切线相交于点Q.

(1)求证:点Q在抛物线C1上;

(2)若∠QAB是直角,求实数a的值.

正确答案

证明:(I)∵y′=2x

∴y′|x=a=2a,直线l的方程为y-a2=2a(x-a)(2分)

令A(),B(),由方程,消去y可得x2+2ax-a2=0

(4分)

∵y′|x=x1=-2x1

∴切线QA的方程(1)

切线QB的方程(2)

(1)(2)联立可得即Q (-a,a2

∴点Q在抛物线C1上(7分)

(II)若∠QAB=90°,则

+a4-a2=0(11分)

=8a4

由于a(x2-x1)始终为负值

(13分)

(15分)

解法二:若∠QAB=90°,则

整理可得,(1)(11分)

∴x1+x2=-2a,消去x2,解得

由于x1与a同号∴  (2)(13分)

把(2)代入(1)可得,(12-8)a2=

(15分)

解析

证明:(I)∵y′=2x

∴y′|x=a=2a,直线l的方程为y-a2=2a(x-a)(2分)

令A(),B(),由方程,消去y可得x2+2ax-a2=0

(4分)

∵y′|x=x1=-2x1

∴切线QA的方程(1)

切线QB的方程(2)

(1)(2)联立可得即Q (-a,a2

∴点Q在抛物线C1上(7分)

(II)若∠QAB=90°,则

+a4-a2=0(11分)

=8a4

由于a(x2-x1)始终为负值

(13分)

(15分)

解法二:若∠QAB=90°,则

整理可得,(1)(11分)

∴x1+x2=-2a,消去x2,解得

由于x1与a同号∴  (2)(13分)

把(2)代入(1)可得,(12-8)a2=

(15分)

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

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