热门试卷

解：（1）设过P（t，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，

则该切线的方程为：y=k（x-t）

由 ，得，x2-kx+（kt+1）=0

∵直线与抛物线相切，

∴方程x2-kx+（kt+1）=0有一解，

∴△=k2-4（kt+1）=k2-4tk-4=0

则k1，k2都是方程k2-4tk-4=0的解，故k1k2=-4

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）

对函数y=x2+1求导数，得y′=2x，

∴抛物线y=x2+1在A（x1，y1）点处的切线斜率为2x1，在B（x2，y2）点处的切线斜率为2x2，

∴2x1•2x2=-4，即x1x2=-1

∵M为AB中点，∴x=，y=

∵A，B点在抛物线y=x2+1，∴y1=x12+1，y2=x22+1，

∴y1+y2=x12+1+x22+1=（x1+x2）2-2x1x2+2

即2y=（2x）2+2+2，2x2-y+2=0

∴线段AB中点M的轨迹方程为2x2-y+2=0

（2）由（1）知，直线PA的方程为y-y1=2x1（x-x1），直线PB的方程为y-y2=2x2（x-x2），

∵P（t，0）为两条切线的交点，∴-y1=2x1（t-x1），即-y1=2x1t-2x12，

∵y1=x12+1，∴-y1=2x1t-2（y1-1），y1=2x1t+2，同理，y2=2x2t+2，

∴直线AB的方程是y=2tx+2，则直线PQ过定点（0，2）．

（3）P点到AB的距离d==

联立直线AB与抛物线y=x2+1，消去y，得，x2-2tx-1=0

∴x1+x2=2t，x1x2=-1，∴|AB|=|x1-x2|==

|OP|=|t|

∴====2（t≠0）

令=m，则m=

对m求导，的m′=，令m′=0，得，t=-，

∵当t＜0时，m′＜0．t＞0时，m′＞0，∴函数m=在t=-处有极小值，

又∵函数在整个定义域上只有一个极小值，

∴此时函数有最小值，也即有最小值，最小值为．

解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则

则故

所以，椭圆方程为．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，

则△=64k2b2-16（1+4k2b2）（b2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，

且，．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以=k2，

即+m2=0，又m≠0，

所以k2=，即k=．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=d|PQ|=|x1-x2||m|=，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．