- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆
正确答案
解：（1）∵
曲线过
由①②解得
（2）联立方程
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得
即AB的中点为
又∵AB的中点不在
∴
解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：
解析
解：（1）∵
曲线过
由①②解得
（2）联立方程
则△=16m2-12（2m2-2）=8（-m2+3）＞0，解得
即AB的中点为
又∵AB的中点不在
∴
解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1作直线l1与椭圆交于M，N两点，过点F2作直线l2与椭圆交于P，Q两点，且直线l1，l2互相垂直，试问
正确答案
解：（1）∵椭圆的离心率为
∴
∴a=2
∴椭圆C的标准方程为
（2）设l1：y=k（x+2），则
由
所以
同理
所以，
当l1斜率不存在时，
当l2斜率不存在时，
综上，
解析
解：（1）∵椭圆的离心率为
∴
∴a=2
∴椭圆C的标准方程为
（2）设l1：y=k（x+2），则
由
所以
同理
所以，
当l1斜率不存在时，
当l2斜率不存在时，
综上，
已知抛物线y2=2px（p＞0）的经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则
正确答案
解析
解：弦AB斜率k=
=
=
∵A、F、B三点共线，
∴k=
由①，②得
∴y1y2+y12=2px1-p2，
∵y12=2px1，
∴y1y2=-p2，③
∵
=
=
=
因此，由④÷③得
故选B．
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且
正确答案
解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：
由题意：
所求椭圆方程为：
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：
直线AB的方程为y-m=kx
由
△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k2-m2+3＞0，
所以4k2＞m2-3 ①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知
则
将③代入②得：
整理得：16m2k2-12k2+3m2-9=0
所以
得
解得
所以
综上可得，实数m的取值范围为：
解析
解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：
由题意：
所求椭圆方程为：
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：
直线AB的方程为y-m=kx
由
△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k2-m2+3＞0，
所以4k2＞m2-3 ①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知
则
将③代入②得：
整理得：16m2k2-12k2+3m2-9=0
所以
得
解得
所以
综上可得，实数m的取值范围为：
已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q是曲线C上的动点，直线AQ，BQ分别交直线l：x=4于点M，N，线段MN的中点为D，求直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记直线BM与AN的交点为T，试探究点T与曲线C的位置关系，并说明理由．
正确答案
解：（1）设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）
∴由已知，
化简，得
（2）设直线AQ的斜率为k（k≠0），则由题可得直线BQ的斜率为-
∴直线AQ的方程为y=k（x+2），令x=4，则得M（4，6k），
直线BQ的方程为y=-
∴D（4，3k-
∴kBD=
故kBDkQB=（
∴直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围为（-
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-
∴kBM•kAN=
∴点T在曲线C上．…（14分）
解析
解：（1）设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）
∴由已知，
化简，得
（2）设直线AQ的斜率为k（k≠0），则由题可得直线BQ的斜率为-
∴直线AQ的方程为y=k（x+2），令x=4，则得M（4，6k），
直线BQ的方程为y=-
∴D（4，3k-
∴kBD=
故kBDkQB=（
∴直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围为（-
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-
∴kBM•kAN=
∴点T在曲线C上．…（14分）
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