直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），且离心率e=．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G（，0），求k的取值范围．

正确答案

解析

解：（1）由e=，得a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，

∴椭圆方程为，又点（1，）在椭圆上，

∴，即c2=1，

∴椭圆的方程为；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，

∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3，

又，∴MN中点P的坐标为（-，）．

设MN的垂直平分线l‘方程：y=-（x-），

∵p在l′上，∴=-（--），即4k2+8km+3=0．

∴m=-（4k2+3），

将上式代入得，

∴，即k＞或k＜-，∴k的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线交于A、B两点，点O为坐标原点．

（1）证明：•=-3；

（2）若△AOB的面积为4，求直线l的方程．

正确答案

（1）证明：由抛物线x2=4y的方程可得焦点F（0，1）．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

设直线l的方程为：y=kx+1．

联立，化为x2-4kx-4=0．

∴x1+x2=4k，x1x2=-4．

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-4k2+4k2+1=1．

∴•=x1x2+y1y2=-4+1=-3；

（2）解：由（1）可得|AB|===4（1+k2）．

点O到直线l的距离d=．

∴S△OAB===4，

解得k2=3，

∴．

∴直线l的方程为：+1．

解析

（1）证明：由抛物线x2=4y的方程可得焦点F（0，1）．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

设直线l的方程为：y=kx+1．

联立，化为x2-4kx-4=0．

∴x1+x2=4k，x1x2=-4．

∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-4k2+4k2+1=1．

∴•=x1x2+y1y2=-4+1=-3；

（2）解：由（1）可得|AB|===4（1+k2）．

点O到直线l的距离d=．

∴S△OAB===4，

解得k2=3，

∴．

∴直线l的方程为：+1．

题型：简答题

简答题

已知点M是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）在△F1MF2中，=，

得到：．

由余弦定理，得．

=，

∴|MF1|+|MF2|=4．

∴2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，b2=a2-c2=1．

故椭圆方程为．

（2）∵△OAF2与△OBF2的面积比值为2，

∴AF2：BF2=2，则，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴y1=-2y2 ①

设直线l的方程为．

由，得到，

则 ②

③

由①②③得，

因此存在直线l：使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2．

解析

解：（1）在△F1MF2中，=，

得到：．

由余弦定理，得．

=，

∴|MF1|+|MF2|=4．

∴2a=|MF1|+|MF2|=4，即a=2，b2=a2-c2=1．

故椭圆方程为．

（2）∵△OAF2与△OBF2的面积比值为2，

∴AF2：BF2=2，则，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴y1=-2y2 ①

设直线l的方程为．

由，得到，

则 ②

③

由①②③得，

因此存在直线l：使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2．

题型：填空题

填空题

已知双曲线x2-y2+kx-y-9=0与直线y=kx+1的两个交点关于y轴对称，则这两个交点的坐标为 ______．

正确答案

（，1）或（-，1）

解析

解：由直线与双曲线的两个交点关于y轴对称得到k=0，即直线方程为y=1；双曲线方程为x2-y2-y-9=0．

联立两个解析式得：，

解得或，

所以交点坐标为（，1）或（-，1）

题型：简答题

简答题

已知两圆C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=2．

（1）求动点P的轨迹M的方程；

（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2（-1，0），

∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|，

∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1（1，0）和C2（-1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，

所以a=，c=1，b===1，

∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；

（2）假设存在这样的直线l满足条件，

当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．

当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），

由方程组得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0①，

依题意△=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-＜k＜，

当-＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），

方程①的解为，，则=，

∴y0=k（x0-2）=k（-2）=，

要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=-1，

∴k=-1，化简得0=-1，显然不成立；

所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，

综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；

解析

解：（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2（-1，0），

∵|PC1|+|PC2|=2＞2=|C1C2|，

∴根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心，C1（1，0）和C2（-1，0）为焦点，长轴长为2a=的椭圆，

所以a=，c=1，b===1，

∴椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为；

（2）假设存在这样的直线l满足条件，

当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．

当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），

由方程组得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0①，

依题意△=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-＜k＜，

当-＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），

方程①的解为，，则=，

∴y0=k（x0-2）=k（-2）=，

要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=-1，

∴k=-1，化简得0=-1，显然不成立；

所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，

综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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