- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
过椭圆
正确答案
解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵M（2，1）为AB的中点
∴x1+x2=4，y1+y2=2
∵又A、B两点在椭圆上，则
两式相减得
于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
∴
故所求直线的方程为
解析
解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）
∵M（2，1）为AB的中点
∴x1+x2=4，y1+y2=2
∵又A、B两点在椭圆上，则
两式相减得
于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0
∴
故所求直线的方程为
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点F的直线l交椭圆C于M、N两点，连接MO（O为坐标原点）并延长交椭圆C于点P，求△PMN的面积S△PMN的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S△PMN=2S△OMN．
由（Ⅰ）可知：
设直线l的方程为：x=my+
∴
∴|y1-y2|=
∴
设
∴S△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．
解析
解：（Ⅰ）由题意可得：b=1，a=2．
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性可知：点M、P关于点O中心对称，∴S△PMN=2S△OMN．
由（Ⅰ）可知：
设直线l的方程为：x=my+
∴
∴|y1-y2|=
∴
设
∴S△PMN≤2，即△PMN的面积的最大值为2．
已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；
（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．kBP•kBQ=e2
（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；
（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，
∵c2+b2=a2，
∴a2=3，c2=2，
∴
（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2-3=0，
∴y1+y2=-
∴kBP•kBQ=
整理可得n2-2mn-3m2=0
∴n=-m或n=3m，
∴直线PQ的方程为x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），
∴直线PQ过定点（0，-3）；
（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），
∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，
∴直线PQ的斜率为±
解析
解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，
∵c2+b2=a2，
∴a2=3，c2=2，
∴
（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2-3=0，
∴y1+y2=-
∴kBP•kBQ=
整理可得n2-2mn-3m2=0
∴n=-m或n=3m，
∴直线PQ的方程为x=my-m=m（y-1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），
∴直线PQ过定点（0，-3）；
（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），
∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，
∴直线PQ的斜率为±
在平面直角坐标系中，定义d（P、Q）=|x1-x2|+|y1-y2|为P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“折线距离”．则直线
正确答案
解析
如图，d（P、Q）=PG+GQ，d（P、Q1）=PG+GQ1；
而直线方程为
故GQ＞GQ1，
故d（P、Q）的最小值为d（P、Q1）=|y1-y2|，
再使点P在抛物线x2=-8y上运动，
点P到直线
故
故答案为：
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，
∴F点的坐标为（1，0）
又∵直线y=2x-4与C交于A，B两点，
则A，B两点坐标分别为（1，-2）（4，4），
则
则cos∠AFB=
故选D．
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