热门试卷

解：（ I）有题设可知：

∴又b2=a2-c2，∴b2=1，

∴椭圆标准方程为

（2）由题意可知直线AB方程为x=1，代入解得，

设圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，P三点代入得

，

解得，

所以圆的方程是

（3）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

则由得

（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），

即x=x1+λx2，y=y1+λy2．

∵点A、B在椭圆x2+2y2=2上，

∴x+2y=2，x+2y+=2，故x2+2y2=（x+λ2x+2λx1x2）+2（y+λ2y+2λy1y2）=（x+2y）+λ2（x+2yx）+2λ（x1x2+2y1y2）

=2+2λ2+2λ（x1x2+2y1y2）．

设kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率，

由题设条件知kOA•kOB==-，

∴x1x2+2y1y2=0，∴x2+2y2=2+2λ2．即

∴P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为G，Q，则由椭圆的定义PG+PQ=4为定值．

所以4=，∴λ=±1，

此时两焦点的坐标为 G（-，0），

∴存在λ=±1使得PG+PQ=4

解（1）设直线AB：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，得x2-kx-1=0．

则x1+x2=k，x1x2=-1．

又，．

所以

=x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1

=-k2-1+k2+1=0．

所以MA⊥MB．

（2）设直线MA：y=k1x-1；MB：y=k2x-1，k1k2=-1

由，得或，所以A，

同理可得．

则．

由，得或，所以D，

同理可得．

∴=．

=．

所以λ的取值范围是．

解：（1）由e=，得a=2c，

由点P（xo，3）是直线上一点，且直线PF2的倾斜角为，

得，得，所以b2=3c．

则b2=a2-c2=3c2=3c，所以c=1．

则a=2，b2=3．

所以所求椭圆E的方程为；

（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（），B（），代入椭圆方程

得，此时．

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m．

令A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）=192k2-48m2+144

由△＞0，得4k2+3＞m2．

．

由|AB|==．

得．

点O到直线AB的距离d=．

所以．

所以=

=

=．

∵，∴当k=0时，，

此时，符合4k2+3＞m2．

所以S△AOB的最小值为．

则△AOB面积的最小值为．

解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．

又椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的标准方程为

 （II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1

当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入

解得B（ ），C（ ），

则 ，又点A到直线BC的距离d=，

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

要使△ABC面积的最大值，则k＜0

由 ≥-1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．

∴S△ABC的最大值是