- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知抛物线x2=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B、C两点．请问：是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，过点A作直线BC的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程．
正确答案
解：（1）将（2，2）代入x2=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x2=2y．
即
y对x求导得y′=x，所以抛物线x2=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2．
所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．
由题意可知，a=2，b=1．
所以椭圆E的方程分别为
（2）假设直线BC恒过定点D．
设直线AB的斜率kAB=k1，直线AC的斜率kAC=k2，则k1k2=-4．
从而直线AB的方程为y=k1x+2．
联立
从而点B的横坐标
所以点B的坐标为
同理点C的坐标为
于是，
所以点B，C均在直线
而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为
所以BC恒过定点D（0，0）；
（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以
又因为
所以有x2+y（y-2）=0，即x2+（y-1）2=1．
所以H的轨迹方程为x2+（y-1）2=1（去掉点（0，2））．
解析
解：（1）将（2，2）代入x2=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x2=2y．
即
y对x求导得y′=x，所以抛物线x2=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2．
所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．
由题意可知，a=2，b=1．
所以椭圆E的方程分别为
（2）假设直线BC恒过定点D．
设直线AB的斜率kAB=k1，直线AC的斜率kAC=k2，则k1k2=-4．
从而直线AB的方程为y=k1x+2．
联立
从而点B的横坐标
所以点B的坐标为
同理点C的坐标为
于是，
所以点B，C均在直线
而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为
所以BC恒过定点D（0，0）；
（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以
又因为
所以有x2+y（y-2）=0，即x2+（y-1）2=1．
所以H的轨迹方程为x2+（y-1）2=1（去掉点（0，2））．
动圆C过定点F
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上的一定点P（x0，y0）（y0≠0），方向向量
（3）曲线Γ上的两个定点P0（x0，y0）、
正确答案
解：（1）过点C作直线
由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线
由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，
其中
所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）
不过点P的直线l方程为
由
则y1+y2=-2y0，
=
=
=
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．
由
则
同理
∴
代入（***）计算得
解析
解：（1）过点C作直线
由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线
由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，
其中
所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；
（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）
不过点P的直线l方程为
由
则y1+y2=-2y0，
=
=
=
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．
由
则
同理
∴
代入（***）计算得
已知椭圆C：
正确答案
y=-
解析
解：设过N点的椭圆的切线方程为y-
即有y=kx+
得到x2+4（kx+
即有（1+4k2）x2+8k（
由于直线和椭圆相切，
则有△=64k2（
解得，k=-
即有切线方程为：y=-
故答案为：y=-
直线y=kx+1被椭圆x2+2y2=1所截得的线段AB的中点横坐标是-
正确答案
解析
解：将y=kx+1代入椭圆x2+2y2=1后化简得
（2k2+1）x2+4kx+1=0，首先△=16k2-4（2k2+1）＞0，即
设两交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2）
则
解得k=1或k=
所以AB=
故答案为
已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被曲线C所截得的弦AB恰好被点N平分？如果存在，求出直线m的方程；不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x≥0）；
当x＜0时，y=0．
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由题意，直线m的斜率存在，设方程为y-2=k（x-4），与抛物线方程联立，消去x可得ky2-4y-8+4k=0①，
∴
∴k=1，此时①中△恒大于0，
∴直线m存在，其方程为y=x-2．
解析
解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x≥0）；
当x＜0时，y=0．
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由题意，直线m的斜率存在，设方程为y-2=k（x-4），与抛物线方程联立，消去x可得ky2-4y-8+4k=0①，
∴
∴k=1，此时①中△恒大于0，
∴直线m存在，其方程为y=x-2．
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