直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是______．

正确答案

2x+4y-3=0

解析

解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，

则，

两式相减再变形得，

又弦中点为（，），

故k=-，

故这条弦所在的直线方程y-=-（x-），整理得2x+4y-3=0．

故答案为：2x+4y-3=0．

题型：简答题

简答题

（2015秋•石嘴山校级期末）椭圆C1的中心在原点，过点（0，），且右焦点F2与圆C2：（x-1）2+y2=的圆心重合．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）过点F2的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）依题意得F2（1，0），∴c=1，又过点，∴b=．

因此a2=b2+c2=4．

故所求的椭圆C1 的方程为：．

（2）由（1）知F1（-1，0）．以MN为直径的圆过F1⇔．

①若直线l的斜率不存在．易知N （1，），M （1，-）．

==≠0，不合题意，应舍去．

②若直线l的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．

=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2

=x1x2+x1+x2+k（x1-1）•k（x2-1）+1

=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2（*）

联立消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

∴，代入（*）．

得：．

由得：．

∴直线l的方程为y=．

解析

解：（1）依题意得F2（1，0），∴c=1，又过点，∴b=．

因此a2=b2+c2=4．

故所求的椭圆C1 的方程为：．

（2）由（1）知F1（-1，0）．以MN为直径的圆过F1⇔．

①若直线l的斜率不存在．易知N （1，），M （1，-）．

==≠0，不合题意，应舍去．

②若直线l的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）．

=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2

=x1x2+x1+x2+k（x1-1）•k（x2-1）+1

=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2（*）

联立消去y得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．

∴，代入（*）．

得：．

由得：．

∴直线l的方程为y=．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，-b）的直线的距离是．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线l=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

正确答案

（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，

因此a2=b2+1 ①，

直线AB：，即bx-ay-ab=0．

∴原点O到直线AB的距离为 ②，

联立①②，解得：a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，（*）

由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

整理得：4k2-m2+3=0，

将4k2+3=m2，即m2-3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，

即（mx+4k）2=0，解得，

∴，

又F1（1，0），∴，则，

∴直线F1Q方程为，

联立方程组，得x=4，

∴点Q在定直线x=4上．

解析

（Ⅰ）解：由抛物线的焦点坐标为（1，0），得c=1，

因此a2=b2+1 ①，

直线AB：，即bx-ay-ab=0．

∴原点O到直线AB的距离为 ②，

联立①②，解得：a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）由，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，（*）

由直线与椭圆相切，得m≠0且△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

整理得：4k2-m2+3=0，

将4k2+3=m2，即m2-3=4k2代入（*）式，得m2x2+8kmx+16k2=0，

即（mx+4k）2=0，解得，

∴，

又F1（1，0），∴，则，

∴直线F1Q方程为，

联立方程组，得x=4，

∴点Q在定直线x=4上．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C：y2=2px的焦点坐标F（1，0），过F的直线L交抛物线C于A、B两点，直线AO、BO分别与直线m：x=-2相交于M、N．

（1）求抛物线C方程．

（2）求的值．

正确答案

解：（1）∵抛物线C：y2=2px的焦点坐标F（1，0），

∴抛物线C方程为y2=4x．

（2）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，

∴==．

当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），

设M（-2，yM），N（-2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），

解整理得k2x2-（4+2k2）x+k2=0，

∵∠AOB=∠MON，

∴x1•x2=1．∴===．

综上=．

解析

解：（1）∵抛物线C：y2=2px的焦点坐标F（1，0），

∴抛物线C方程为y2=4x．

（2）当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，

∴==．

当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），

设M（-2，yM），N（-2，yN），A（x1，y1），B（x2，y2），

解整理得k2x2-（4+2k2）x+k2=0，

∵∠AOB=∠MON，

∴x1•x2=1．∴===．

综上=．

题型：单选题

单选题

（2015秋•烟台校级期末）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则此抛物线方程为（　　）

Ay2=3x

By2=6x

Dy2=2x

正确答案

解析

解：过点A，B向准线x=-作垂线，垂足分别为C，D，过B点向AC作垂线，垂足为E

∵A，B两点在抛物线y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|

∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，

∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|

即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|

∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4

设直线AB方程为y=（x-），代入y2=2px，得，

3x2-5px+=0，

∴x1+x2=

∴|AB|=x1+x2+p=4

∴P=，∴抛物线方程为y2=3x

故选A

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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