直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知斜率为1的直线l与双曲线交于A、B两点，且，求直线l的方程．

正确答案

解：设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，由，消去y可得x2-2mx-（m2+2）=0…（4分）

∴△=8（m2+1）＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m，x1x2=-（m2+2）

∴…（8分）

∴m=±1…（10分）

∴l：y=x±1…（12分）

解析

解：设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，由，消去y可得x2-2mx-（m2+2）=0…（4分）

∴△=8（m2+1）＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2m，x1x2=-（m2+2）

∴…（8分）

∴m=±1…（10分）

∴l：y=x±1…（12分）

题型：简答题

简答题

已知直线l：y=x+m，m∈R．

（1）若以点M（2，0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

（2）若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？若相切，求出此时的m值；若不相切，说明理由．

正确答案

解：（1）依题意，点P的坐标为（0，m）．

因为MP⊥l，所以×1=-1，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径

r=|MP|==2．

故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．

（2）因为直线l的方程为y=x+m

所以直线l′的方程为y=-x-m．

由得x2+4x+4m=0．

△=42-4×4m=16（1-m）．

①当m=1，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

解析

解：（1）依题意，点P的坐标为（0，m）．

因为MP⊥l，所以×1=-1，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径

r=|MP|==2．

故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．

（2）因为直线l的方程为y=x+m

所以直线l′的方程为y=-x-m．

由得x2+4x+4m=0．

△=42-4×4m=16（1-m）．

①当m=1，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切，当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．

∴椭圆C的方程为；

（2）如图，

设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），

把x=ty-1代入，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0

，

∴==，

∴，

解得：（舍）或t2=1，t=±1．

故所求直线方程为：x±y+1=0．

解析

解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），

由|F1F2|=2得c=1，∴F1（-1，0），F2（1，0），

又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2-c2=4-1=3．

∴椭圆C的方程为；

（2）如图，

设直线l的方程为x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2），

把x=ty-1代入，得：（3t2+4）y2-6ty-9=0

，

∴==，

∴，

解得：（舍）或t2=1，t=±1．

故所求直线方程为：x±y+1=0．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点

（I）设N（-p，0），求的最小值；

（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为：x=my+p，

由⇒y2-2pmy-2p2=0，∴，

=（x1+p）（x2+p）+y1y2=（my1+2p）（my2+2p）+y1y2

=（m2+1）y1y2+2pm（y1+y2）+4p2，=2P2m2+2P2，

当m=0时，+1的最小值为2p2+1；

（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，设AC的中点为O′，

l与以AC为直径的圆相交于P，Q，PQ中点为H，

则O′H⊥PQ，O′的坐标为（，）．

∵|O‘P|=|AC|==，

|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=（x12+p2）-（2a-x1-p）2=（a-p）x1+a（p-a），

|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p）x1+a（p-a）]2，

令a-p=0得a=p．此时|PQ|=p为定值．

故满足条件的直线l存在，其方程为x=p．

解析

解：（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为：x=my+p，

由⇒y2-2pmy-2p2=0，∴，

=（x1+p）（x2+p）+y1y2=（my1+2p）（my2+2p）+y1y2

=（m2+1）y1y2+2pm（y1+y2）+4p2，=2P2m2+2P2，

当m=0时，+1的最小值为2p2+1；

（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，设AC的中点为O′，

l与以AC为直径的圆相交于P，Q，PQ中点为H，

则O′H⊥PQ，O′的坐标为（，）．

∵|O‘P|=|AC|==，

|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=（x12+p2）-（2a-x1-p）2=（a-p）x1+a（p-a），

|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p）x1+a（p-a）]2，

令a-p=0得a=p．此时|PQ|=p为定值．

故满足条件的直线l存在，其方程为x=p．

题型：填空题

填空题

已知P为抛物线y2=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A、B两点，若点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线x=-1上．试猜测如果点P为椭圆的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A、B两点，点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线______上．

正确答案

解析

解：由已知P为抛物线y2=4x的焦点，

过P的直线l与抛物线交与A，B两点，

若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，

则点Q总在定直线x=-1上．

故满足条件的点在抛物线的直线上，

则我们易类比推断出：

如果P为椭圆的左焦点，

过P的直线l与椭圆交与A，B两点，

若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，

则点Q总在椭圆的左准线上，即直线方程为

故答案为：．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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