- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为______．
正确答案
-4
解析
解：因为点P，Q的横坐标分别为4，-2，
代入抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2．
由x2=2y，则y=
过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，
所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8，y=-2x-2
联立方程组解得x=1，y=-4
故点A的纵坐标为-4．
故答案为：-4．
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-
正确答案
解：（1）设P（x0，y0），∵|OP|=
∴
解得
又
∴椭圆C的方程为
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直线l：
∴
∴
=
=（1+k2）x1x2+
=
=
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．
解析
解：（1）设P（x0，y0），∵|OP|=
∴
解得
又
∴椭圆C的方程为
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
把直线l：
∴
∴
=
=（1+k2）x1x2+
=
=
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ=
②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．
正确答案
解：（1）由题意可知：
∴a=
∴椭圆C的方程为：
（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
则圆D的方程：
直线PQ的方程：2x+ty-2=0，
∴|PQ|=
∴
∴t2=4，t=±2
∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2
②证明：设P（x1，y1），
由①知：
即：
消去t得：
∴点P在定圆x2+y2=2上．
解析
解：（1）由题意可知：
∴a=
∴椭圆C的方程为：
（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
则圆D的方程：
直线PQ的方程：2x+ty-2=0，
∴|PQ|=
∴
∴t2=4，t=±2
∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2
②证明：设P（x1，y1），
由①知：
即：
消去t得：
∴点P在定圆x2+y2=2上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为
代入椭圆方程得
抛物线的方程是：y2=8x…（6分）
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，
直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），代入抛物线，得ky2-8y-32k=0，y1+y2=
综上S△OCD最小值为
解析
解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为
代入椭圆方程得
抛物线的方程是：y2=8x…（6分）
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，
直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），代入抛物线，得ky2-8y-32k=0，y1+y2=
综上S△OCD最小值为
椭圆E：
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过F1的直线l交椭圆于A，B两点．判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角，若存在，求出l的斜率k的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意
∴椭圆的方程为：
（Ⅱ）（i）当过F1直线AB的斜率不存在时，点
则
（ii）当过F1直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
∴
=
当∠AF2B为钝角时，
综上所述，满足条件的直线斜率k满足
解析
解：（Ⅰ）依题意
∴椭圆的方程为：
（Ⅱ）（i）当过F1直线AB的斜率不存在时，点
则
（ii）当过F1直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
∴
=
当∠AF2B为钝角时，
综上所述，满足条件的直线斜率k满足
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