- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，-
正确答案
解：（I）由题知
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为
∴顶点A的轨迹方程为
（II）由
∴△=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-3）＞0，
整理得：4k2＞m2-3．①
令M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
设MN的中点P（x0，y0），则
i）当k=0时，由题知，m∈（-
ii）当k≠0时，直线l方程为
由P（x0，y0）在直线l上，得
把②式代入①中可得2m-3＞m2-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k2＞0，解得m＞
∴
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（
综上，当k=0时，m的取值范围为（-
解析
解：（I）由题知
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为
∴顶点A的轨迹方程为
（II）由
∴△=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-3）＞0，
整理得：4k2＞m2-3．①
令M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-
设MN的中点P（x0，y0），则
i）当k=0时，由题知，m∈（-
ii）当k≠0时，直线l方程为
由P（x0，y0）在直线l上，得
把②式代入①中可得2m-3＞m2-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k2＞0，解得m＞
∴
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（
综上，当k=0时，m的取值范围为（-
已知椭圆
A
B
C2
D4
正确答案
解析
解：∵双曲线方程为
∴焦点在x轴上
∴3m2-n2=2m2+3n2
∴m2=4n2
∴
故选D
若平面内一条直线l与曲线C有且仅有一个公共点，下列命题正确的是______（填序号）
①若C是圆，则l与一定相切；
②若C是抛物线，则l与C一定相切；
③若C是椭圆，则l与C一定相切；
④若C是双曲线，则l与C一定相切．
正确答案
①③
解析
解：①若C是圆，则l与一定相切，正确；
②若C是抛物线，则l与C相切或与对称轴平行，不正确；
③若C是椭圆，则l与C一定相切，正确；
④若C是双曲线，则l与C相切或与渐近线平行，不正确．
故答案为：①③．
平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，o）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．那么当m满足条件______时，曲线C是圆；当m满足条件______ 时，曲线C是双曲线．
正确答案
m=-1
m＞0
解析
解：设动点为M，其坐标（x，y）．
当x≠±a时，由条件可得k1•k2=
即mx2-y2=ma2（x≠±a）．又A1（-a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2-y2=ma2．
故依题意，曲线C的方程为mx2-y2=ma2．
当m＜-1时，曲线C的方程为 
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C 的方程为 
当m＞0时，曲线C的方程为 
故答案为：m=-1，m＞0．
设椭圆
（ ）
A3
B
C
D
正确答案
解析
解：∵椭圆
∴m-2=3+1
∴m=6
∴|PF1|+|PF2|=2
两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12
∴|PF1|•|PF2|=3
故选A．
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