- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
已知椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点F1（-5，0）、F2（5，0），且它们的离心率e都可以使方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，求椭圆和双曲线的标准方程．
正确答案
解：由题意可设椭圆的方程为
双曲线的方程为
且c1=c2=5
设椭圆的离心率为 e1，0＜e1＜1，
双曲线的离心率为e2，e2＞1
又e1，e2使得方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，
所以△=（1-2e）2-4×（2e-1）=0
解得
即
所以可得
所以所求椭圆方程为
双曲线的方程为
解析
解：由题意可设椭圆的方程为
双曲线的方程为
且c1=c2=5
设椭圆的离心率为 e1，0＜e1＜1，
双曲线的离心率为e2，e2＞1
又e1，e2使得方程x2+（1-2e）x+2e-1=0有相等的实根，
所以△=（1-2e）2-4×（2e-1）=0
解得
即
所以可得
所以所求椭圆方程为
双曲线的方程为
若点（x0，y0）满足
正确答案
解析
解：由y0y=2（x0+x）可得
即y2=2y0y-4x0
∴y2-2y0y+4x0=0
∴
∵点（x0，y0）在抛物线y2=4x的内部
∴
∴
∴△＜0
∴直线y0y=2（x0+x）与抛物线y2=4x无公共点
故选D．
求经过点P（-1，-6）与抛物线C：x2=4y只有一个公共点的直线l方程．
正确答案
解：①当斜率存在时，设直线l的方程为 y+6=k（x+1），
代入抛物线的方程可得：x2-4kx-4k+24=0，
根据判别式等于0，得16k2-4（-4k+24）=0，求得k=-3或k=2，
故方程为3x+y+9=0或2x-y-4=0；
②当斜率不存在时，直线方程为x=-1与抛物线C：x2=4y只有一个公共点．
故所求的直线方程为：x=-1，或3x+y+9=0或2x-y-4=0．
解析
解：①当斜率存在时，设直线l的方程为 y+6=k（x+1），
代入抛物线的方程可得：x2-4kx-4k+24=0，
根据判别式等于0，得16k2-4（-4k+24）=0，求得k=-3或k=2，
故方程为3x+y+9=0或2x-y-4=0；
②当斜率不存在时，直线方程为x=-1与抛物线C：x2=4y只有一个公共点．
故所求的直线方程为：x=-1，或3x+y+9=0或2x-y-4=0．
直线y=x+k与抛物线y2=2x相交于点A、B，且OA⊥OB，则k=______．
正确答案
-2
解析
解：直线方程代入抛物线方程整理得：
x2+（2k-2）x+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则
∵OA⊥OB
∴OA2+OB2=AB2
即
∴x1x2+y1y2=0
则k2+2k=0
∴k=-2（0舍去）
故答案为-2．
已知直线l与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同的点，那么“直线l经过抛物线y2=4x的焦点”是“x1x2=1”的（ ）
正确答案
解析
解：由于抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故过焦点的直线l可假设为y=k（x-1）
代入抛物线方程，整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
∵A（x1，y1），B（x2，y2）
∴x1x2=1
当斜率不存在时，结论也成立
反之，若x1x2=1时，由方程k2x2-（2k2+4）x+k2=0知，直线l不一定经过抛物线y2=4x的焦点
故选A．
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