直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知抛物线C：y2=4x．

（1）设圆M过点T（2，0），且圆心M在抛物线C上，PQ是圆M在y轴上截得的弦，当点M在抛物线上运动时，弦长|PQ|是否为定值？说明理由；

（2）过点D（-1，0）的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，在x轴上是否存在一点E，使△ABE为正三角形？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）设圆心M（，y0），则圆半径r2=（-2）2+y02，

圆心M到y轴的距离为d=，

∴弦长|PQ|=2

=2=2=4 （定值）；

（2）设直线AB的方程为x=my-1，消x得y2-4my+4=0

△=16m2-16=16（m2-1）＞0，∴m2＞1，

∵y1+y2=4m，

∴AB的中点为N（2m2-1，2m），

∴AB中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2+1），令y=0，∴x=2m2+1，

即E坐标为（2m2+1，0），

∴|EN|==2，

又|AB|=•4，当△ABE为正三角形时，

|EN|=|AB|，∴2=••4，

∴m2=，满足△＞0，∴存在点E（，0）．

解析

解：（1）设圆心M（，y0），则圆半径r2=（-2）2+y02，

圆心M到y轴的距离为d=，

∴弦长|PQ|=2

=2=2=4 （定值）；

（2）设直线AB的方程为x=my-1，消x得y2-4my+4=0

△=16m2-16=16（m2-1）＞0，∴m2＞1，

∵y1+y2=4m，

∴AB的中点为N（2m2-1，2m），

∴AB中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2+1），令y=0，∴x=2m2+1，

即E坐标为（2m2+1，0），

∴|EN|==2，

又|AB|=•4，当△ABE为正三角形时，

|EN|=|AB|，∴2=••4，

∴m2=，满足△＞0，∴存在点E（，0）．

题型：填空题

填空题

设抛物线y2=2px（p＞0），M（a，0），N（b，0）是x轴正半轴上的两个顶点，过M作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AN，BN分别于抛物线交于C，D两点，若直线CD的斜率为k2，则=______．

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

则y12=2px1，y22=2px2，

两式相减，可得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），

即有k1==，

同理可得k2=，

即有=，

设AB的方程为x=my+a，代入抛物线方程可得：

y2-2pmy-2pa=0，

即有y1+y2=2pm，y1y2=-2pa，

由AC和BD与抛物线相交，可得y1y3=-2pb，

y2y4=-2pb，

即有y3=，y4=，

则==-2pb•=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

（2015秋•滑县期末）椭圆的焦点分别为F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点．若△ABF2的面积是20，则直线AB的方程是______．

正确答案

解析

解：∵中a=3，b=2，c=5，则的焦点分别为F1和（-5，0），F2（5，0）

①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=0，此时AB=4

==不符合题意

②可设直线AB的方程y=kx

联立方程可得（4+9k2）x2=180

∴，

∴AB=2AO=2×

∴△ABF2的面积为S=2==20

∴

∴直线AB的方程y=

故答案为y=

题型：简答题

简答题

（2015秋•朝阳校级月考）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，

解方程组解得C（，2），D（，-2），

由抛物线与椭圆的对称性，可得：=，所以|F2S|=，所以S（，）．

因此，解得b=1，故而a=2，

所以椭圆E的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．

①当k=0时，所以t=0；

②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x-3），

代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，

由△＞0，得0＜k2＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=．

因为+=t，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0），

所以x0=（x1+x2）=，y0=．

因为点P在椭圆上，所以[]2+[]2=4，

解得t2=9-，

由于0＜k2＜，故而0＜t2＜4，所以t∈（-2，0）∪（0，2），

综合①②可知，t∈（-2，2）．

解析

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，

解方程组解得C（，2），D（，-2），

由抛物线与椭圆的对称性，可得：=，所以|F2S|=，所以S（，）．

因此，解得b=1，故而a=2，

所以椭圆E的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．

①当k=0时，所以t=0；

②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x-3），

代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，

由△＞0，得0＜k2＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=．

因为+=t，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0），

所以x0=（x1+x2）=，y0=．

因为点P在椭圆上，所以[]2+[]2=4，

解得t2=9-，

由于0＜k2＜，故而0＜t2＜4，所以t∈（-2，0）∪（0，2），

综合①②可知，t∈（-2，2）．

题型：单选题

单选题

平行于x轴的直线l1与椭圆C：交于A、B两点，平行于y轴的直线l2与椭圆C：交于C、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）

A15

B60

C30

D不是一个定值

正确答案

解析

解：设A（x1，y1），C（x2，y2）（x1＞0，y2＞0），则B（-x1，y1），D（x2，-y2），

∴四边形ABCD面积=|AB||CD|=2x1y2，

∴当且仅当AB为长轴长，CD为短轴长时，四边形ABCD面积最大2×5×3=30

故选C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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