热门试卷

解：（1）∵e==，即a=c，

∴b==c，

∵椭圆C过点M（1，），

∴+=1，

∴a=，b=1，

∴椭圆C的标准方程为+y2=1；

（2）圆T半径r=，圆T方程为x2+（y-t）2=1+t2，

∵PQ与圆T相切于点Q，∴QT⊥PQ，

①把Q（-，-）代入圆T方程，解得t=，

求得kQT=2，

∴直线PQ的方程为y=-x-；

②设P（x0，y0）（-1≤y0≤1），

∵QT⊥PQ，

∴PQ2=PT2-QT2=x02+（y0-t）2-（1+t2），

又+y02=1，∴PQ2=-（y0+1）2+（1+t2），

当t≥1时，且当y0=-1时，PQ2的最大值为2t，

则2t=（）2=，解得t=（舍），

当0＜t＜1时，且当y0=t时，

PQ2的最大值为1+t2，则t2+1=解得t=（合）

综上t=，圆T方程为x2+（y-）2=．

解：（Ⅰ）C1的焦点为F（0，），

所以=0+1，p=2．

故C1的方程为x2=4y，其准线方程为y=-1．

（Ⅱ）任取点P（2t，t2），设过点P的C2的切线方程为y-t2=k（x-2t）．

由，得x2-2kx+4tk-2t2+2=0．

由△=（2k）2-4（4tk-2t2+2）=0，化简得k2-4tk+2t2-2=0，

记PM，PN的斜率分别为k1，k2，则m=k1k2=2t2-2，

因为m∈[2，4]，所以t2∈[2，3]，

所以|OP|2=4t2+t4=（t2+2）2-4∈[12，21]，

所以|OP|∈[，]．

解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．

由，得．

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．

从而x1+x2=2pk1，．

所以点M的坐标为，．

同理可得点N的坐标为，．

于是．

由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．

故．

（Ⅱ）由抛物线的定义得，，

所以，从而圆M的半径．

故圆M的方程为，

化简得．

同理可得圆N的方程为

于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为．

又k2-k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0．

因为p＞0，所以点M到直线l的距离为

=．

故当时，d取最小值．由题设，解得p=8．

故所求抛物线E的方程为x2=16y．