热门试卷

解：（1）|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，则|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=4c，

由椭圆定义，可得，2a=4c，即a=2c，

又点F2（c，0）到直线l：x=的距离为3，即有-c=3，解得a=2，c=1，b=，

则椭圆E的方程为：=1；

（2）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜）．

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，

由，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2-12=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，①

∵⊥即=0，∴x1x2+y1y2=0，

又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，

即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．     ②

将①代入②，得（1+k2）-+t2=0，

即t2=（1+k2）．

∵直线AB与圆x2+y2=r2相切，

∴r===∈（0，），

∴存在圆x2+y2=满足条件．

当直线AB的斜率不存在时，易得x12=x22=，

代入椭圆的方程，得y12=y22=，满足⊥．

综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．

（3）证明：由（2）若k不存在，则可设A（，），B（，-），

即有+=；

若k存在，则将椭圆方程化为极坐标方程，即有3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，

即有ρ2==，

由于OA⊥OB，可设A（ρ1，θ），B（ρ2，+θ），即有ρ12=，ρ22=，

则有+==．

故+为定值，且为．

解：（1）∵椭圆的离心率，短轴长为2，

∴b=1，，即，

∴a=2，

∴椭圆C的方程为；

（2）若直线AB的斜率不存在，则x1=x2，y1=-y2

由，得，即，

因为点A在椭圆上，所以，与上式矛盾，

故直线AB存在斜率，

设方程为y=kx+p，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2kpx+p2-4=0，

由，得，即4x1x2+y1y2=0，

将y1=kx1+p，y2=kx2+p代入上式并整理得

∴（4+k2）x1x2+kp（x1+x2）+p2=0，

将，，代入上式并整理得2p2=k2+4，

∵O到直线AB的距离为，

∴S△AOB==

===1，

综上可知，△AOB的面积为定值1．