直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：填空题

填空题

（理）已知以F1（-2，0），F2（2，0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______．

正确答案

解析

解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m≠n＞0），

直线x+y+4=0代入椭圆方程，消x得：（m+n）y2+8ny+16n-1=0，

△=64n2-4（16n-1）（m+n）=0，

整理，得m+n=16mn

又c=2，由焦点在x轴上，

所以-=4，联立解得：m=，n=

故长轴长为2；

故答案为．

题型：简答题

简答题

（2015秋•保定校级月考）在直角坐标系xOy中，点M到点F1、F2的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：与轨迹C交于不同的两点P和Q．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为．（4分）

（2）将，代入曲线C的方程，整理得．①（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得，．②（8分）

又．③（9分）

若以PQ为直径的圆过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，（10分）

将②、③代入上式，解得．（12分）

又因k的取值应满足△＞0，即4k2-1＞0（*），将代入（*）式知符合题意．（13分）

解析

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为．（4分）

（2）将，代入曲线C的方程，整理得．①（6分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由方程①，得，．②（8分）

又．③（9分）

若以PQ为直径的圆过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，（10分）

将②、③代入上式，解得．（12分）

又因k的取值应满足△＞0，即4k2-1＞0（*），将代入（*）式知符合题意．（13分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆C1：（a＞b＞0）的短轴长为4，离心率为，其一个焦点在抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线上，过C2的焦点F的直线交C2于A、B两点，分别过A、B作C2的切线，两切线交于点Q．

（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）当点Q在C1内部运动时，求△QCD面积的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由椭圆条件得，解得，

∴C1：．

∵抛物线的焦点F与C1的一个焦点重合，

∴，解得p=4，

∴C2：x2=8y．

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在且过点F（0，2），设其方程为y=kx+2，

由消去y得，x2-8kx-16=0

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=8k，x1•x2=-16，

由x2=8y得，，，

∴，

联立AQ、BQ的方程解得，，，

∴Q（4k，-2），由于点Q在椭圆的内部，∴，∴．

由消去y得，x2-kx-16=0，

令C（x3，y3）、D（x4，y4），则，，

∴，

Q点到直线CD的距离d==4，

∴△QCD的面积

令，考察函数，，

∵，

∴f（t）在上单调递增，

∴，∴，

即．

解析

解：（Ⅰ）由椭圆条件得，解得，

∴C1：．

∵抛物线的焦点F与C1的一个焦点重合，

∴，解得p=4，

∴C2：x2=8y．

（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在且过点F（0，2），设其方程为y=kx+2，

由消去y得，x2-8kx-16=0

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=8k，x1•x2=-16，

由x2=8y得，，，

∴，

联立AQ、BQ的方程解得，，，

∴Q（4k，-2），由于点Q在椭圆的内部，∴，∴．

由消去y得，x2-kx-16=0，

令C（x3，y3）、D（x4，y4），则，，

∴，

Q点到直线CD的距离d==4，

∴△QCD的面积

令，考察函数，，

∵，

∴f（t）在上单调递增，

∴，∴，

即．

题型：填空题

填空题

已知直线y=x-1和椭圆（m＞1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为______．

正确答案

解析

解：由题意，=1，∴F（-1，0）

直线y=x-1代入椭圆，并整理，得（2m-1）x2-2mx+2m-m2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴y1y2=（x1-1）（x2-1）=

∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴=0

∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=0

∴++1+=0

∴m2-4m+1=0

∴m=

∵m＞1

∴m=

故答案为：

题型：简答题

简答题

已知线段，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．

（1）求动点A所在的曲线方程；

（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；

（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，

若，即，动点A所在的曲线不存在；

若，即，动点A所在的曲线方程为；

若，即，动点A所在的曲线方程为．

（2）由（Ⅰ）知，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，

故，所以，a的取值范围是．

（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆，由条件知A，B两点均在椭圆上，且AO⊥OB．

设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为，

解方程组，得，，同理可求得，，

∴△AOB面积=，

令1+k2=t（t＞1），则，

令，所以，，即，

当OA与坐标轴重合时S=1，于是，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与．

解析

解：（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，

若，即，动点A所在的曲线不存在；

若，即，动点A所在的曲线方程为；

若，即，动点A所在的曲线方程为．

（2）由（Ⅰ）知，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点，

故，所以，a的取值范围是．

（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆，由条件知A，B两点均在椭圆上，且AO⊥OB．

设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为，

解方程组，得，，同理可求得，，

∴△AOB面积=，

令1+k2=t（t＞1），则，

令，所以，，即，

当OA与坐标轴重合时S=1，于是，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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