直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A，B，且与双曲线-y2=1有相同的焦点，圆T：x2+y2=4上有一动点P，P在x轴上方，M（1，0）为x轴上一点．直线PA交椭圆C于D点，联结DM，PB．

（1）若•=0，求△ADM的面积；

（2）若直线PB，DM的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围．

正确答案

解：作图如右图，

在双曲线-y2=1中，c2=2+1=3，

故b2=4-3=1，故椭圆C的方程为+y2=1，

（1）设点D（2cosa，sina），则=（2cosa+2，sina），=（1-2cosa，-sina），

由•=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin2a=0，

即（3cosa-1）（cosa+1）=0，

故由图可知，点D（，）；

则S△ADM=×3×=；

（2）由（1）知，k2=，

直线AD的方程为，

即y=，

又∵AD⊥PB，

∴k1=-=-，

则由k1=λk2可得，

λ==-•

=-

=2

=4-2，

∵，

∴-1＜cosa＜或＜cosa＜1，

∴＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜，

∴1＜2＜4或＞4，

∴0＜4-2＜3或4-2＜0．

即λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

解析

解：作图如右图，

在双曲线-y2=1中，c2=2+1=3，

故b2=4-3=1，故椭圆C的方程为+y2=1，

（1）设点D（2cosa，sina），则=（2cosa+2，sina），=（1-2cosa，-sina），

由•=0可得（2cosa+2）（1-2cosa）-sin2a=0，

即（3cosa-1）（cosa+1）=0，

故由图可知，点D（，）；

则S△ADM=×3×=；

（2）由（1）知，k2=，

直线AD的方程为，

即y=，

又∵AD⊥PB，

∴k1=-=-，

则由k1=λk2可得，

λ==-•

=-

=2

=4-2，

∵，

∴-1＜cosa＜或＜cosa＜1，

∴＜1-cosa＜2或0＜1-cosa＜，

∴1＜2＜4或＞4，

∴0＜4-2＜3或4-2＜0．

即λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴

∴

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0

设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1），

∴x1+x2=，x1x2=

又直线AE的方程为y-y2=

令y=0，则x=x2-=x2-==1

∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴

∴

∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

∴b=

∴a2=4，b2=3

∴椭圆的方程为；

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x-4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0

设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，-y1），

∴x1+x2=，x1x2=

又直线AE的方程为y-y2=

令y=0，则x=x2-=x2-==1

∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知F1、F2是双曲线的两个焦点，若离心率等于的椭圆E与双曲线C的焦点相同．

（1）求椭圆E的方程；

（2）如果动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，曲线M的方程为：．判断直线l：mx+ny=1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；当直线l与曲线M相交时，求直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长的最大值．

正确答案

解：（1）∵F1、F2是双曲线的两个焦点，∴

不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．

∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．

∴设椭圆E的方程为（a＞b＞0）

∵根据已知得，解得

∴椭圆E的方程为

（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

理由是：

∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，

∴，∴，0≤m2≤25

∵曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆

圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离=

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，在0≤m2≤25上递增

∴当m2=25，m=±5，n=0，即时，t最大为．

解析

解：（1）∵F1、F2是双曲线的两个焦点，∴

不妨设F1（-4，0）、F2（4，0）．

∵椭圆E与双曲线C的焦点相同．

∴设椭圆E的方程为（a＞b＞0）

∵根据已知得，解得

∴椭圆E的方程为

（2）直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

理由是：

∵动点P（m，n）满足|PF1|+|PF2|=10，∴P（m，n）是椭圆E上的点，

∴，∴，0≤m2≤25

∵曲线M是圆心为（0，0），半径为的圆

圆心（0，0）到直线l：mx+ny-1=0的距离=

∴直线l：mx+ny=1与曲线M有两个公共点．

设直线l：mx+ny=1截曲线M所得弦长t，在0≤m2≤25上递增

∴当m2=25，m=±5，n=0，即时，t最大为．

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题型：简答题

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简答题

如图，A，B是焦点为F的抛物线y2=4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x=t（t＞0）上．

（Ⅰ）求|FA|+|FB|的值；

（Ⅱ）求|AB|的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1

∴|FA|+|FB|=x1+x2+2

∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上

∴x1+x2+=2t，

∴|FA|+|FB|=2t+2；

（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”

∴|AB|的最大值是2t+2．

解析

解：（Ⅰ）y2=4x的焦点坐标是F（1，0），准线方程是x=-1

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=x1+1，|BF|=x2+1

∴|FA|+|FB|=x1+x2+2

∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＞0）上

∴x1+x2+=2t，

∴|FA|+|FB|=2t+2；

（Ⅱ）∵|AF|+|BF|≥|AB|，当A，F，B三点成一线时取“=”

∴|AB|的最大值是2t+2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且B（-1，-3）．

（Ⅰ）求椭圆C和直线l的方程；

（Ⅱ）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）由离心率，得，即a2=3b2．①

又点B（-1，-3）在椭圆上，即．②

解①②得a2=12，b2=4，

故所求椭圆方程为．

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2．

（Ⅱ）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径，

表示圆心在直线y=-2上，半径为的动圆．

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．

设⊙G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l‘的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4）．

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得．

解析

解：（Ⅰ）由离心率，得，即a2=3b2．①

又点B（-1，-3）在椭圆上，即．②

解①②得a2=12，b2=4，

故所求椭圆方程为．

由A（2，0），B（-1，-3）得直线l的方程为y=x-2．

（Ⅱ）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0，

即圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径，

表示圆心在直线y=-2上，半径为的动圆．

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．

设⊙G与直线l相切于点T，则由，得m=±4，

当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l‘的方程为x+y+6=0，

解方程组，得T（-2，-4）．

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，

所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，

即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得．

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