直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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题型：填空题

填空题

椭圆中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是______．

正确答案

x+2y-3=0

解析

解：直线与椭圆的两个交点坐标为（x1，y1）；（x2，y2）则

两式相减得

∵P（1，1）为中点

∴

∴直线的斜率为

∴此弦所在直线的方程是

即x+2y-3=0

故答案为x+2y-3=0

题型：简答题

简答题

如图，已知圆G：x2+y2-2x-y=0，经过椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

正确答案

（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，．（2分）

∴a2=4+2=6．

故椭圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

∴．

∵，，

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2==．（10分）

∵点F在圆G的外部，∴，即，

解得m＜0或m＞3．------------（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．

∴．（14分）

（Ⅱ）解法二：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

则CD的中点为，

又，

所以圆G的半径长，

又右焦点F（2，0），∴，

因点F在圆G的外部，∴，，

整理得

解得m＜0或m＞3．（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．∴．（14分）

解析

（本题满分14分）

解：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，．（2分）

∴a2=4+2=6．

故椭圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

∴．

∵，，

∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2==．（10分）

∵点F在圆G的外部，∴，即，

解得m＜0或m＞3．------------（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．

∴．（14分）

（Ⅱ）解法二：设直线l的方程为．

由消去y，得2x2-2mx+（m2-6）=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=m，，（6分）

则CD的中点为，

又，

所以圆G的半径长，

又右焦点F（2，0），∴，

因点F在圆G的外部，∴，，

整理得

解得m＜0或m＞3．（12分）

由△=4m2-8（m2-6）＞0，解得．

又，．∴．（14分）

题型：简答题

简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF1的内切圆半径r的最大值．

正确答案

解：（1）直线AB 的方程为，即bx-ay-ab=0

由题意得=，①

∵②

a2=b2+c2③

解得

∴椭圆的方程为

（2）设PQ：x=ty+代入

并整理得

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则

，

∴

当即t2=1时，

∴

又∴

∴

解析

解：（1）直线AB 的方程为，即bx-ay-ab=0

由题意得=，①

∵②

a2=b2+c2③

解得

∴椭圆的方程为

（2）设PQ：x=ty+代入

并整理得

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则

，

∴

当即t2=1时，

∴

又∴

∴

题型：单选题

单选题

设直线l：y=3x-2与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且弦AB的中点M在直线x+y=0上，则椭圆的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：A（x1，y1），B（x2，y2），有KAB==3；

设AB的中点为M，其坐标为（m，n），则（x1+x2）=2m，（y1+y2）=2n；

又由弦AB的中点M在直线x+y=0上，即m+n=0，

A、B两点在椭圆上，

则=1，①

=1，②；

①-②可得，（y1+y2）（y1-y2）=-（x1+x2）（x1-x2）；

化简可得：=3；

则椭圆的离心率为e==；

故选A．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为．直线l与椭圆C交于P、Q两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围；

（Ⅲ）设点P关于x轴的对称点为P′（P′与Q不重合），当直线l过点（1，0）时，判断直线P′Q是否与x轴交于一定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，知解得a=2，b=1．

所以，椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率k存在且不为0．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

所以，△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，①

且．

因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，

所以，．

化简，得．代入①，解得0＜m2＜2．

因为点O到直线l的距离，且，

所以．

因为0＜m2＜2且m2≠1，所以0＜m2（2-m2）=-（m2-1）2+1＜1．

所以△OPQ面积的取值范围为（0，1）．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当直线l过点（1，0）时，k+m=0．

由题意知P‘（x1，-y1），直线P'Q的方程为．

令y=0，得=．

由k+m=0，得．

即直线P'Q与x轴交于一定点（4，0）．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，知解得a=2，b=1．

所以，椭圆C的方程为．…（4分）

（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率k存在且不为0．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0，m≠±1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0．

所以，△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，①

且．

因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，

所以，．

化简，得．代入①，解得0＜m2＜2．

因为点O到直线l的距离，且，

所以．

因为0＜m2＜2且m2≠1，所以0＜m2（2-m2）=-（m2-1）2+1＜1．

所以△OPQ面积的取值范围为（0，1）．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当直线l过点（1，0）时，k+m=0．

由题意知P‘（x1，-y1），直线P'Q的方程为．

令y=0，得=．

由k+m=0，得．

即直线P'Q与x轴交于一定点（4，0）．…（13分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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