- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共2643题
椭圆
（1）求证：
（2）若直线l的斜率为1，且点（0，-1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．
正确答案
（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，
由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，…（4分）
所以，
（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为
设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y2-2cy-1=0，（*） …（2分）
则
于是有
解得
解析
（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，
由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，…（4分）
所以，
（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为
设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y2-2cy-1=0，（*） …（2分）
则
于是有
解得
已知向量
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）设 B（-2
则|
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2
∴M 的轨迹 C的方程为 
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 
即 （1+9k2） x2+36kx+27=0 …（8分）
∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0
即 9k2-3＞0，∴k＜-
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=-
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0
∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0
即 
解得k=±
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：
解析
解：（1）设 B（-2
则|
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2
∴M 的轨迹 C的方程为
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由
即 （1+9k2） x2+36kx+27=0 …（8分）
∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0
即 9k2-3＞0，∴k＜-
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=-
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0
∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0
即
解得k=±
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：
已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）因为
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由
所以圆P的半径为
则有t2=3（1-t2），
解得
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以
设t=cosθ，θ∈（0，π），则
当
解析
解：（Ⅰ）因为
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由
所以圆P的半径为
则有t2=3（1-t2），
解得
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以
设t=cosθ，θ∈（0，π），则
当
若直线mx+ny=4和圆：x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）直线与椭圆
正确答案
解析
解：∵直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，
∴原点到直线mx+ny-4=0的距离d=
解得m2+n2＜4，
∴点P（m，n）是x2+y2=4圆内的点．
∵椭圆
∴圆x2+y2=4内切于椭圆，
∴点P是椭圆
∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．
故选C．
直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+
A
B2
C
D4
正确答案
解析
解：直线4kx-4y-k=0可化为k（4x-1）-4y=0，故可知直线恒过定点（
∵抛物线y2=x的焦点坐标为（
∴直线AB为过焦点的直线
∴AB的中点到准线的距离
∴弦AB的中点到直线x+
故选C．
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