直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；

（3）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

正确答案

解：（1）如图所示，∵|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，

∴动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），a=，c=1，b2=1．

∴方程C为=1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（-1，0）．∵，

∴x1+2x2=-2，y1+2y2=0．

∴x1=-2-2x2，y1=-2y2，代入椭圆方程可得=1，又，

联立解得，∴．

∴kMN==．

（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx-，A（x1，y1），B（x2，y2）．

则=（x1，y1-t）•（x2，y2-t）=x1x2+（y1-t）（y2-t）

=x1x2+-t+t2=（1+k2）x1x2-（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+++t2=0，

联立，化为（1+2k2）x2-kx-=0，△＞0恒成立．

∴x1+x2=，x1x2=-．

代入上式可得：--+++t2=0，化为（18t2-18）k2+（9t2+6t-15）=0，

∴，解得t=1．满足△＞0．

∴在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T．

解析

解：（1）如图所示，∵|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，

∴动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），a=，c=1，b2=1．

∴方程C为=1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（-1，0）．∵，

∴x1+2x2=-2，y1+2y2=0．

∴x1=-2-2x2，y1=-2y2，代入椭圆方程可得=1，又，

联立解得，∴．

∴kMN==．

（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx-，A（x1，y1），B（x2，y2）．

则=（x1，y1-t）•（x2，y2-t）=x1x2+（y1-t）（y2-t）

=x1x2+-t+t2=（1+k2）x1x2-（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+++t2=0，

联立，化为（1+2k2）x2-kx-=0，△＞0恒成立．

∴x1+x2=，x1x2=-．

代入上式可得：--+++t2=0，化为（18t2-18）k2+（9t2+6t-15）=0，

∴，解得t=1．满足△＞0．

∴在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T．

题型：简答题

简答题

已知中心在坐标原点，焦点在x轴的椭圆C．它的离心率为且曲线C过点（0，）．

（1）求椭圆C的方程．

（2）过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点．过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．求证：直线AN与BM交于定点．

正确答案

（1）解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

由已知得，解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），

联立，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∵过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点，

∴△=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．

则，x1x2=，

过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．

则M（4，y1），N（4，y2），

∴直线AN：，令y=0，化为x===．

直线BM：，令y=0，化为x==．

∵2x1x2+8-5（x1+x2）=+8-=0，

∴=．

因此直线AN与BM交于定点P．

当AB⊥轴时，可得P．

即直线AN与BM交于定点P．

解析

（1）解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

由已知得，解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），

联立，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∵过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点，

∴△=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．

则，x1x2=，

过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．

则M（4，y1），N（4，y2），

∴直线AN：，令y=0，化为x===．

直线BM：，令y=0，化为x==．

∵2x1x2+8-5（x1+x2）=+8-=0，

∴=．

因此直线AN与BM交于定点P．

当AB⊥轴时，可得P．

即直线AN与BM交于定点P．

题型：简答题

简答题

已知椭圆的右准线l1：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为，点C（m，0）在线段OF上．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）．

∵，

∴c=1，

∴b=1，

∴椭圆的方程．

（2）由（1）知F（1，0），

假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），

代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1）B（x2，y2），，，

∴，

∵点C（m，0）在线段OF上，∴0＜m＜1，

∴=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）

=（，），

∵，

而AB的方向向量为（1，k），

∴，

∴，∴1+=，

∴==，∴，

∵0＜m＜1，∴k=．

故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，

使得，l的斜率k=．

解析

解：（1）．

∵，

∴c=1，

∴b=1，

∴椭圆的方程．

（2）由（1）知F（1，0），

假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），

代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1）B（x2，y2），，，

∴，

∵点C（m，0）在线段OF上，∴0＜m＜1，

∴=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）

=（，），

∵，

而AB的方向向量为（1，k），

∴，

∴，∴1+=，

∴==，∴，

∵0＜m＜1，∴k=．

故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，

使得，l的斜率k=．

题型：填空题

填空题

已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为 ______．

正确答案

解析

解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），

因为直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，

所以M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）

把M的坐标代入椭圆方程得：，化简得：（m2）2+8m2-128=0即（m2-8）（m2+16）=0

解得m2=8，m2=-16（舍去），根据c===2，而a==4

所以椭圆的离心率e===

故答案为：

题型：简答题

简答题

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．

正确答案

解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+

∴动点P的轨迹是椭圆

∴a=，b=1，c=1

∴曲线E的方程是．

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

i） L与y轴重合时，=λ=

ii） L与y轴不重合时，由①得

又∵λ==，

∵x2＜x1x1＞0

∴0＜λ＜1，

∴

∵

而

∴6＜＜8

∴4＜＜

∴4＜＜，即，

由解得λ的取值范围是[，1）．

解析

解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+

∴动点P的轨迹是椭圆

∴a=，b=1，c=1

∴曲线E的方程是．

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

i） L与y轴重合时，=λ=

ii） L与y轴不重合时，由①得

又∵λ==，

∵x2＜x1x1＞0

∴0＜λ＜1，

∴

∵

而

∴6＜＜8

∴4＜＜

∴4＜＜，即，

由解得λ的取值范围是[，1）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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