直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C经过点，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若，求实数k值．

正确答案

解（1）抛物线的焦点是，

则双曲线的…（1分）

点在双曲线方程…（2分）

解得：…（5分）

（2）联立方程：

当△＞0时，得（且k≠±2）…（7分）（未写△扣1分）

由书达定理：…（8分）

设

即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0代入，

可得：，

检验合格．…（12分）

解析

解（1）抛物线的焦点是，

则双曲线的…（1分）

点在双曲线方程…（2分）

解得：…（5分）

（2）联立方程：

当△＞0时，得（且k≠±2）…（7分）（未写△扣1分）

由书达定理：…（8分）

设

即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0代入，

可得：，

检验合格．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

设P（a，b）（a•b≠0）、R（a，2）为坐标平面xoy上的点，直线OR（O为坐标原点）与抛物线交于点Q（异于O）．

（1）若对任意ab≠0，点Q在抛物线y=mx2+1（m≠0）上，试问当m为何值时，点P在某一圆上，并求出该圆方程M；

（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆x2+4y2=1上，试问：点Q能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；

（3）对（1）中点P所在圆方程M，设A、B是圆M上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

正确答案

解：（1）∵，

代入⇒ma2+b2-2b=0

当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上

（2）∵P（a，b）在椭圆x2+4y2=1上，即a2+（2b）2=1

∴可设

又∵，

∴=（令m=4）

∴点Q在双曲线y2-4x2=16上

（3）∵圆M的方程为x2+（y-1）2=1

设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），由|OA|•|OB|=1⇒

又∵⇒（k2+1）y2+2（kλ-1）y+λ2=0，

∴

又原点O到直线AB距离

∴，即原点O到直线AB的距离恒为

∴直线AB恒与圆相切．

解析

解：（1）∵，

代入⇒ma2+b2-2b=0

当m=1时，点P（a，b）在圆M：x2+（y-1）2=1上

（2）∵P（a，b）在椭圆x2+4y2=1上，即a2+（2b）2=1

∴可设

又∵，

∴=（令m=4）

∴点Q在双曲线y2-4x2=16上

（3）∵圆M的方程为x2+（y-1）2=1

设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），由|OA|•|OB|=1⇒

又∵⇒（k2+1）y2+2（kλ-1）y+λ2=0，

∴

又原点O到直线AB距离

∴，即原点O到直线AB的距离恒为

∴直线AB恒与圆相切．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD=λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，），

∴且，又c2=a2-b2

解得：a2=4，b2=1，

∴椭圆E的方程为（1）

（Ⅱ）存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立

设P（4，y0）（y0≠0），又A（-2，0），则

故直线AP的方程为：，代入方程（1）并整理得：．

由韦达定理：，

即，∴，

同理可解得：，∴，

故直线CD的方程为y=kCD（x-xC）+yC，

即，∴直线CD恒过定点E（1，0）．

∴．

故λ=3．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，），

∴且，又c2=a2-b2

解得：a2=4，b2=1，

∴椭圆E的方程为（1）

（Ⅱ）存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立

设P（4，y0）（y0≠0），又A（-2，0），则

故直线AP的方程为：，代入方程（1）并整理得：．

由韦达定理：，

即，∴，

同理可解得：，∴，

故直线CD的方程为y=kCD（x-xC）+yC，

即，∴直线CD恒过定点E（1，0）．

∴．

故λ=3．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，一条准线方程为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P在该椭圆C上，F1，F2是椭圆C的左右焦点，若与向量（5，1）共线，求点P的坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0），

依题意可知，求得a=，b=1

∴椭圆的方程为=1，

（Ⅱ）设P（x，y），

∵F1（-2，0），F2（2，0），

∴+=（-2x，-2y）

∵与向量（5，1）共线，

∴x=5y，由=1，求得y=±

故点P（，），（-，-）

解析

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为=1，（a＞b＞0），

依题意可知，求得a=，b=1

∴椭圆的方程为=1，

（Ⅱ）设P（x，y），

∵F1（-2，0），F2（2，0），

∴+=（-2x，-2y）

∵与向量（5，1）共线，

∴x=5y，由=1，求得y=±

故点P（，），（-，-）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=，点D（0，1）在且椭圆E上，

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0），求点G横坐标的取值范围．

（Ⅲ）试用表示△GAB的面积，并求△GAB面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵点D（0，1）在且椭圆E上，

∴b=1，

∵===，

∴a2=2a2-2，

∴，

∴椭圆E的方程为（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），

代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

∵直线AB过椭圆的右焦点F2，

∴方程有两个不等实根．

记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），

则x1+x1=，，（6分）

∴AB垂直平分线NG的方程为．

令y=0，得．（8分）

∵k≠0，∴．

∴t的取值范围为．（10分）

解法二：设直线AB的方程为x=my+1，

由可得（m2+2）y2+2my-1=0．

记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），

则，．

可得．（6分）

∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-m（x-x0）．

令y=0，得．（8分）

∵m≠0，∴．

∴t的取值范围为．（10分）

（Ⅲ）解法一：．

而，

∵，由，可得，，．

所以．

又|F2G|=1-t，

所以（）．（12分）

设f（t）=t（1-t）3，则f′（t）=（1-t）2（1-4t）．

可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，f（t）有最大值．

所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）

解法二：

而，

由，可得．

所以．

又|F2G|=1-t，

所以．

所以△MPQ的面积为（）．（12分）

设f（t）=t（1-t）3，

则f‘（t）=（1-t）2（1-4t）．

可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，f（t）有最大值．

所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）

解析

解：（Ⅰ）∵点D（0，1）在且椭圆E上，

∴b=1，

∵===，

∴a2=2a2-2，

∴，

∴椭圆E的方程为（4分）

（Ⅱ）解法一：设直线AB的方程为y=k（x-1）（k≠0），

代入+y2=1，整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．

∵直线AB过椭圆的右焦点F2，

∴方程有两个不等实根．

记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），

则x1+x1=，，（6分）

∴AB垂直平分线NG的方程为．

令y=0，得．（8分）

∵k≠0，∴．

∴t的取值范围为．（10分）

解法二：设直线AB的方程为x=my+1，

由可得（m2+2）y2+2my-1=0．

记A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），

则，．

可得．（6分）

∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-m（x-x0）．

令y=0，得．（8分）

∵m≠0，∴．

∴t的取值范围为．（10分）

（Ⅲ）解法一：．

而，

∵，由，可得，，．

所以．

又|F2G|=1-t，

所以（）．（12分）

设f（t）=t（1-t）3，则f′（t）=（1-t）2（1-4t）．

可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，f（t）有最大值．

所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）

解法二：

而，

由，可得．

所以．

又|F2G|=1-t，

所以．

所以△MPQ的面积为（）．（12分）

设f（t）=t（1-t）3，

则f‘（t）=（1-t）2（1-4t）．

可知f（t）在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，f（t）有最大值．

所以，当时，△GAB的面积有最大值．（14分）

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