直线与圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设中心为坐标原点O的椭圆C的短轴长为2，且一个焦点为F（1，0），

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过点P（t，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当t＞时，求△OAB面积S的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，b=1，c=1，∴，

∴椭圆C的方程；

（Ⅱ）设l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

直线代入椭圆方程可得（m2+2）y2+2mty+t2-2=0，

∴y1+y2=-，y1y2=，

∴S△OAB=|y1-y2|=≤•=，

当且仅当m2+2-t2=t2时，S取得最大值．

解析

解：（Ⅰ）由题意，b=1，c=1，∴，

∴椭圆C的方程；

（Ⅱ）设l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），

直线代入椭圆方程可得（m2+2）y2+2mty+t2-2=0，

∴y1+y2=-，y1y2=，

∴S△OAB=|y1-y2|=≤•=，

当且仅当m2+2-t2=t2时，S取得最大值．

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题型：简答题

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简答题

已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．

（1）求直线l的方程；

（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．

正确答案

解：（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x2-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直线l的方程为：y=2x-4．

（2）抛物线C2：x2=4y的焦点坐标为F1（0，1），所以椭圆C1中，c=1，焦点在y轴上，

所以椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，-1）．

椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，

只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．

设F2关于直线L的对称点F3（m，n），

∴，解得，

即F3（，-），所以直线F1F3方程为：，即y=-x+1，

与直线l联立，可得，即P（）；

此时椭圆C1中，2a=|F1F3|=4，

∴a2=4，

∴b2=a2-c2=3，

∴椭圆方程为

解析

解：（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x2-8x-4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=-4，∴直线l的方程为：y=2x-4．

（2）抛物线C2：x2=4y的焦点坐标为F1（0，1），所以椭圆C1中，c=1，焦点在y轴上，

所以椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，-1）．

椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，

只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．

设F2关于直线L的对称点F3（m，n），

∴，解得，

即F3（，-），所以直线F1F3方程为：，即y=-x+1，

与直线l联立，可得，即P（）；

此时椭圆C1中，2a=|F1F3|=4，

∴a2=4，

∴b2=a2-c2=3，

∴椭圆方程为

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过抛物线C：x2=4y的焦点F．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）设点F关于x轴的对称点为F′，过F′作两条直线l1和l2，其斜率分别为k、k′，满足k＞0，k+k′=0，它们分别是椭圆Γ的上半部分相交于G，H两点，与x轴相交于A，B两点，使得|GH|=，求证：△ABF′的外接圆过点F；

（3）设抛物线C的准线为l，P，Q是抛物线上的两个动点，且满足∠PFQ=，线段PQ的中点为M，点M在l上的投影为N，求的最大值．

正确答案

（1）解：由已知F（0，1），设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），则b=1，

∵离心率为，

∴，

∴a=2，

∴椭圆Γ的方程为；

（2）证明：由题意，F′（0，-1），并且l1和l2，关于y轴对称，

∴G与H，A与B也分别关于y轴对称，

l1的方程y=kx-1代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2-8kx=0，

∴x=0或x=，

∴|GH|=2×||=，

∴k=1或k=，

∵直线是椭圆Γ的上半部分相交，

∴k＞，

∴k=1，

∴l1和l2的方程分别为y=x-1或y=-x-1，

令y=0，可得A（1，0），B（-1，0），

∴|OA|=|OB|=|OF|=|OF′|，

∴A，B，F，F′四点共圆，

∴ABF′的外接圆过点F；

（3）设∠PQF=θ（0＜θ＜），则|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，

∴|PF|+|QF|=|PQ|（sinθ+cosθ）=sin（θ+）

由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得|MN|=（|PF|+|QF|），

∴=sin（θ+）

∴θ=时，的最大值为．

解析

（1）解：由已知F（0，1），设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），则b=1，

∵离心率为，

∴，

∴a=2，

∴椭圆Γ的方程为；

（2）证明：由题意，F′（0，-1），并且l1和l2，关于y轴对称，

∴G与H，A与B也分别关于y轴对称，

l1的方程y=kx-1代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2-8kx=0，

∴x=0或x=，

∴|GH|=2×||=，

∴k=1或k=，

∵直线是椭圆Γ的上半部分相交，

∴k＞，

∴k=1，

∴l1和l2的方程分别为y=x-1或y=-x-1，

令y=0，可得A（1，0），B（-1，0），

∴|OA|=|OB|=|OF|=|OF′|，

∴A，B，F，F′四点共圆，

∴ABF′的外接圆过点F；

（3）设∠PQF=θ（0＜θ＜），则|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，

∴|PF|+|QF|=|PQ|（sinθ+cosθ）=sin（θ+）

由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得|MN|=（|PF|+|QF|），

∴=sin（θ+）

∴θ=时，的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆，斜率为1且过椭圆C1右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，且与a=（3，-1）共线．

（1）求椭圆C1的离心率．

（2）试证明直线OA斜率k1与直线OB斜率k2的乘积k1•k2为定值，并求值．

（3）若，试判断点M是否在椭圆上，并说明理由．

正确答案

解：设F（c，0），则直线l方程为y=x-c，代入椭圆方程：

，（a2+b2）x2-2ca2x+a2c2-a2b2=0

∴，；

∴y1+y2=x1+x2-2c

∴

得a2=3d2

∴a2=3（a2-c2）

得：

∴椭圆离心率为．

（2）由（1）可知{a2=3b2，c2=2b2

∴

∴直线OA斜率k1与直线OB斜率k2乘积为定值

（3）设点M为（x0，y0），则

且由（2）知：x1x2+3y1y2=0

∴

∴点M为（x0，y0）符合椭圆方程，

∴点M在椭圆上．

解析

解：设F（c，0），则直线l方程为y=x-c，代入椭圆方程：

，（a2+b2）x2-2ca2x+a2c2-a2b2=0

∴，；

∴y1+y2=x1+x2-2c

∴

得a2=3d2

∴a2=3（a2-c2）

得：

∴椭圆离心率为．

（2）由（1）可知{a2=3b2，c2=2b2

∴

∴直线OA斜率k1与直线OB斜率k2乘积为定值

（3）设点M为（x0，y0），则

且由（2）知：x1x2+3y1y2=0

∴

∴点M为（x0，y0）符合椭圆方程，

∴点M在椭圆上．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；

（Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若，求直线l的斜率．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知，点A是椭圆C短轴的端点．

设椭圆C的方程为，半焦距为c（c＞0）

在Rt△OFA中，，

∵a=3，∴c=2，

∴b2=5

∴椭圆C的方程为…（4分）

（Ⅱ）设N（x0，y0），

∵N在椭圆上，∴，

∴，

∴=…（8分）

∵

∴当时，．…（9分）

（Ⅲ）根据题意设直线l的方程为y=k（x+3），点M（0，3k）

设

∴（x1，y1-3k）=2（-3-x1，-y1）

解得：x1=-2，y1=k…（12分）

又Q在椭圆上，得，解得：…（14分）

解析

解：（Ⅰ）由题意知，点A是椭圆C短轴的端点．

设椭圆C的方程为，半焦距为c（c＞0）

在Rt△OFA中，，

∵a=3，∴c=2，

∴b2=5

∴椭圆C的方程为…（4分）

（Ⅱ）设N（x0，y0），

∵N在椭圆上，∴，

∴，

∴=…（8分）

∵

∴当时，．…（9分）

（Ⅲ）根据题意设直线l的方程为y=k（x+3），点M（0，3k）

设

∴（x1，y1-3k）=2（-3-x1，-y1）

解得：x1=-2，y1=k…（12分）

又Q在椭圆上，得，解得：…（14分）

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