直线与圆锥曲线的综合问题
共2643题

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直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题

点A是椭圆+=1（a＞b＞0）短轴位于x轴下方的顶点，过A作斜率为1的直线交椭圆于P点，B点在y轴上且BP∥x轴，且•=9．

（1）若B（0，1），求椭圆的方程；

（2）若B（0，t），求t的取值范围．

正确答案

解：（1）直线AP的方程为y=x-b，联立，解得，∴P（b+1，1）．

∴=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）2=9（b＞0），解得b=2．

∴P（3，1），代入椭圆的方程为，解得a2=12．

∴椭圆的方程为．

（2）由•=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）2=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．

把P（3，t）代入椭圆的方程可得，化为．

∵a2＞b2，∴，∴，②

由①可得b=3-t代入②可得，化为，解得．

∴t的取值范围是．

解析

解：（1）直线AP的方程为y=x-b，联立，解得，∴P（b+1，1）．

∴=（0，1+b）•（b+1，b+1）=（1+b）2=9（b＞0），解得b=2．

∴P（3，1），代入椭圆的方程为，解得a2=12．

∴椭圆的方程为．

（2）由•=9，∴（0，t+b）•（t+b，t+b）=（t+b）2=9（t＞0，b＞0），∴t+b=3①．

把P（3，t）代入椭圆的方程可得，化为．

∵a2＞b2，∴，∴，②

由①可得b=3-t代入②可得，化为，解得．

∴t的取值范围是．

题型：填空题

填空题

已知直线y=x-1与双曲线交于两点M，N 线段MN的中点横坐标为- 双曲线焦点c为，则双曲线方程为______．

正确答案

解析

解：设双曲线=1，M，N （x1，y1）（x2，y2）

则y1=x1-1，y2=x2-1，两式相减求得y1-y2=x1-x2，

=1，=1

两式相减得：

又因为x1+x2=-

y1+y2=x1+x2-2=-

∵y1-y2=x1-x2

所以=

∵c==

求得a=，b=

∴双曲线方程为=1

故答案为：=1

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．

（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；

（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

正确答案

解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，

因为曲线C2的直角坐标方程为：．

∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．

（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：

=，

∴当sin（60°-θ）=-1时，点P（），

此时．

解析

解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，

因为曲线C2的直角坐标方程为：．

∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．

（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：

=，

∴当sin（60°-θ）=-1时，点P（），

此时．

题型：简答题

简答题

已知抛物线C以原点为顶点，焦点F在x轴上，其准线交x轴于点N，点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）记抛物线的准线交x轴于点N，过点N直线l交抛物线于A、B两点，若△ABF的面积为，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）

∵点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2

∴

∴p=2

∴抛物线方程为 y2=4x．

（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1

代入抛物线方程y2=4x，得y2-4ky+4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵△ABF的面积为

∴

∴16k2-16=48

∴k=±2

∴直线l的方程x=±2y-1．

经检验，符合题意．

解析

解：（1）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）

∵点M（1，m）在抛物线C上，且|MF|=2

∴

∴p=2

∴抛物线方程为 y2=4x．

（2）点N（-1，0），设直线l方程为x=ky-1

代入抛物线方程y2=4x，得y2-4ky+4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∵△ABF的面积为

∴

∴16k2-16=48

∴k=±2

∴直线l的方程x=±2y-1．

经检验，符合题意．

题型：简答题

简答题

如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与抛物线E：y2=4x有一个公共的焦点F，且两曲线在第一象限的交点P的横坐标为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx与抛物线E的交点为O，Q，与椭圆c的交点为M，N（N在线段OQ上），且|MO|=|NQ|．问满足条件的直线l有几条，说明理由．

正确答案

解：（1）∵抛物线E：y2=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．

由点P在抛物线y2=4x上，所以P（，）．

又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，

又c=1，故b==，从而椭圆C的方程为（5分）

（2）联立直线与椭圆方程得，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴．（7分）

联立直线与抛物线得，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x= （9分）

∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴=，

化简得3k4-4k2-3=0，解得k2=（负值舍去），故满足题意的k值有2个．

从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）

解析

解：（1）∵抛物线E：y2=4x的焦点F（1，0），∴椭圆的焦点坐标为（±1，0）．

由点P在抛物线y2=4x上，所以P（，）．

又点P在椭圆C上，所以2a=4，所以a=2，

又c=1，故b==，从而椭圆C的方程为（5分）

（2）联立直线与椭圆方程得，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴．（7分）

联立直线与抛物线得，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x= （9分）

∵|MO|=|NQ|，∴N为线段OQ的中点，∴=，

化简得3k4-4k2-3=0，解得k2=（负值舍去），故满足题意的k值有2个．

从而存在过原点O的两条直线l满足题意．（12分）

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