热门试卷

解：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立

得到，

因此抛物线与正比例函数有两个交点．（2分）

（2），

所以过点P的切线斜率为，

所以过改点的法线斜率为，

从而相应的法线方程为，

因为抛物线关于x轴对称，

所以有其内切圆的圆心必在x轴上，令y=0得x=p+m，设内切圆的半径为R，

则R2=（p+m-m）2+（0-n）2=p2+n2=p2+2pm

从而抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）2+y2=p2+2pm（其中m为参数且m≥0）（6分）

（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为（k为参数且k≥0）（8分）

证明：设焦点弦AB所在直线方程为，与抛物线方成联立便可以得到，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则；；

设伴随圆圆心为（m，n），则，

设伴随圆半径为R

所以伴随圆系方程为（11分）

命题：抛物线y2=2px（p＞0）以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线．（13分）

解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，

设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12

∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴

∴p=2，

∴抛物线E的方程为x2=4y；

（2）由（1）知，，

设P（x0，y0），则x0≠0．l：即

由得，∴

取x0=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，-1）

取x0=1，此时P（1，），Q（-，-1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M3（0，1）或M4（0，-）

故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下

∵

∴=2y0-2-2y0+2=0

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．

解：（Ⅰ）如图，设点C的坐标为（x，y）（x≠0，y≠0），

则，

∵，

∴x•（-x）+y•4=0，即．

∴所求的轨迹T是除去顶点的抛物线（3分）

（Ⅱ）对函数求导得，．

设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，

该切线方程是．

又设点P的坐标为（t，2t-5），

∵切线过点P，

∴有，

化简，得x02-2tx0+8t-20=0．（6分）

设A、B两点的坐标分别为、，

则x1、x2为方程x2-2tx+8t-20=0的两根，x1+x2=2t，x1x2=8t-20．

∴

因此，当t=0时，直线PM与y轴重合，当t≠0时，直线PM与y轴平行（9分）

（Ⅲ）∵=．

∴点M的坐标为．

又∵．

∴直线AB的方程为：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）

∵当x=4，y=5时，方程（*）恒成立，

∴对任意实数t，直线AB恒过定点，定点坐标为（4，5）．（14分）

解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，），

∴，

∴a=2，b=1，

∴椭圆E的方程为…（4分）

（Ⅱ） 证明：①由直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A，得R=，

即 t2=R2（1+k2）…（5分）

又∵l与椭圆E只有一个公共点B，

由得（1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0，

∵直线与椭圆C只有一个公共点

∴△=（8kt）2-4（+4k2）（4t2-4）=0

∴t2=1+4k2②

由①②，得k2=…（8分）

②解：设B（x0，y0），由k2=得t2=  

由韦达定理，x02=

∵B（x0，y0）点在椭圆上，

∴y02=1-x02=

∴|OB|2=x02+y02=5-，…（10分）

在直角三角形OAB中，|AB|2=|OB|2-|OA|2=5-（），

∵≥4，当且仅当R=∈（1，2）时取等号，

∴|AB|2≤5-4=1，

∴AB的最大值为1．…（12分）