热门试卷

解：（Ⅰ）设C方程为

由已知b=2，离心率 …（3分）

得a=4，所以，椭圆C的方程为…（4分）

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为P（2，3）．Q（2，-3），则|PQ|=6，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，

得x2+tx+t2-12=0 由△＞0，解得-4＜t＜4，由根与系数的关系得，

四边形APBQ的面积…（6分）

故，当t=0时，…（7分）

②∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）与，

联立解得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0，x1+2=．…（9分）

同理PB的直线方程y-3=-k（x-2），可得x2+2=．

所以，…（11分）

==，

所以直线AB的斜率为定…（13分）

解：（Ⅰ）由y=x2，得，

∴抛物线的焦点坐标为，

由题意知m2=1，

又，

∴，

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）设C（x0，y0），

由++=可知G为△ABC的重心，

则．

由||=||=||知M为△ABC的外心，

故设M（0，y1），

由||=||，得，

整理得：．

又，

∴．

∴y0=3y1，

则M（）．

∴kMG=0．

即直线MG的斜率是定值0．

解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，（2分）

∴a2-b2=1  ①（3分）

又椭圆截抛物线的准线x=-1所得弦长为，∴得上交点为，

∴  ②（4分）

由①代入②得2b4-b2-1=0，解得b2=1或（舍去），

从而a2=b2+1=2

∴该椭圆的方程为     （6分）

（Ⅱ）∵倾斜角为45°的直线l过点F，

∴直线l的方程为y=x-1，（7分）

由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为F1（-1，0），设M（x0，y0）与F1关于直线l对称，（8分）

则得 （10分）  

解得，即M（1，-2）

又M（1，-2）满足y2=4x，故点M在抛物线上．   （11分）

所以抛物线y2=4x上存在一点M（1，-2），使得M与F1关于直线l对称．（12分）