等比数列的性质及应用
共180题

· 等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用
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题型：填空题

填空题 · 4 分

10．如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为__________．

正确答案

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知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．正项等比数列｛an｝中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）

正确答案

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知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 4 分

16．若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= （）时，数列也是等比数列。

正确答案

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知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用类比推理

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：

①第二列中的必成等比数列；

②第一列中的不一定成等比数列；

③；

④若9个数之和大于81，则 >9．

其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．

正确答案

①②③

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知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（）

An-1

B2n-1

Cn-2

正确答案

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知识点

对数的运算性质由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

5．已知等比数列的前n项和为，且，，则（　）

正确答案

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知识点

等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

16．三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且。

（1）求内角B的余弦值；

（2）若，求ΔABC的面积。

正确答案

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知识点

正弦定理余弦定理等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知数列的前项和为，且，数列满足。

（1）求的通项公式；

（2）若数列是公比为的等比数列，求前项和的最小值

正确答案

（1），，

所以为等差数列

（2），

因为

，

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知识点

等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求正整数m的值．

正确答案

（1）由题意，得解得< d <．

又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)2=2n－1．

（2）∵，

∴．

∵，，，S2为S1，Sm(m∈)的等比中项，

∴，即，

解得m=12．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）求的值；当时，数列是否成等比数列，试说明理由；

（3）由（2）及通过对的探究，试写出关于数列的一个真命题，并加以证明．说明：对于第（3）题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

正确答案

（1）由于与均不属于数集，∴数集不具有性质P

由于，，，，，，都属于数集，∴数集具有性质P

（2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于

，∴，故

从而 ∴

当时，，，，都属于A

从而，，，即，

故数列成等比数列

（3）命题一：对于一切大于或等于3的奇数，满足性质的数列成等比数列．

证明：由（2），不妨设．首先易得，知

都属于A，又，从而，有

，即

…………………（﹡）

因为，所以，只有，，

均属于．将从到列举，便得到：

第1组：，共项；

第2组：，共项；

第3组：，共项；

第组：，共项．

上一组的第2项总大于下一组的第1项，再注意到，故，

第1组的各数从左到右依次为：；

第2组的各数从左到右依次为：；

第3组的各数从左到右依次为：；

第组的各数从左到右依次为：．

于是，有，

由（﹡），，，，，又，故，数列

成等比数列．

命题二：对于一切大于或等于6的偶数，满足性质的数列成等比数列．

证略（同命题一的证明类似）

命题三：对于一切且的，满足性质的数列成等比数列，且．

（证略）若学生指出：当时，满足性质的数列有可能是等比数列，也有可能不是等比数列．

例如数列不是等比数列；数列是等比数列．

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知识点

元素与集合关系的判断等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合归纳推理

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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