三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（文科做）已知A、B都是锐角，且A+B，（1+tanA）（1+tanB）=2，求证A+B=45°．

正确答案

证明：∵（1+tanA）（1+tanB）=1+tanB+tanA+tanA•tanB=2

整理得：tanA+tanB=2-1-tanA•tanB

tanA+tanB=1-tanA•tanB

根据公式tan（A+B）==1

所以tan（A+B）=1

因为a．b都是锐角，A+B，

所以A+B=45°

解析

证明：∵（1+tanA）（1+tanB）=1+tanB+tanA+tanA•tanB=2

整理得：tanA+tanB=2-1-tanA•tanB

tanA+tanB=1-tanA•tanB

根据公式tan（A+B）==1

所以tan（A+B）=1

因为a．b都是锐角，A+B，

所以A+B=45°

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题型：单选题

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单选题

已知，则tanα的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵已知，由两角和的正切公式可得 =3，解得 tanα=，

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

（1-tan1°）（1+tan46°）=______．

正确答案

2

解析

解：（1-tan1°）（1+tan46°）=1+tan46°-tan1°-tan46°tan1°

=1+tan（46°-1°）（1+tan46°tan1°）-tan46°tan1°=1+1+tan46°tan1°-tan46°tan1°

=2，

故答案为：2．

1

题型：单选题

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单选题

已知，则=（　　）

A

B

C-

D

正确答案

D

解析

解：因为=，所以，

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知，，且．求：

（Ⅰ） cos（2α-β）的值．

（Ⅱ）β的值．

正确答案

解：（Ⅰ）解：∵，∴α-β∈（，），

∵，，

∴sinα==，cos（α-β）==，

∴cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα

=×-×=，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

cosβ=cos[α-（α-β）]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα

=×+×=，

又∵，∴β=．

解析

解：（Ⅰ）解：∵，∴α-β∈（，），

∵，，

∴sinα==，cos（α-β）==，

∴cos（2α-β）=cos[（α-β）+α]=cos（α-β）cosα-sin（α-β）sinα

=×-×=，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

cosβ=cos[α-（α-β）]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα

=×+×=，

又∵，∴β=．

1

题型：单选题

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单选题

已知，若tan（）=，则sinθ+cosθ=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

D

解析

解：∵已知，∴cosnθ＜0，sinθ＞0．

再由tan（）==，解得tanθ=-．

∵sin2θ+cos2θ=1，tanθ=-=，

∴sinθ=，cosθ=-，

则sinθ+cosθ=-，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

已知，则的值为______．

正确答案

-

解析

解：因为，所以cosα==，所以tanα=，

===-，

故答案为：-．

1

题型：单选题

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单选题

在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（　　）

A-4

B-2

C2

D4

正确答案

C

解析

解：∵tanA，tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，

则tanA+tanB=-，tanAtanB=-，

∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-=2．

故选C

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题型：单选题

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单选题

已知则tanα的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：=

故选B

1

题型：填空题

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填空题

=______．

正确答案

-1

解析

解：由tan60°=tan（18°+42°）==，

得到tan18°+tan42°=-tan18°tan42°，

则

=

==-1．

故答案为：-1

1

题型：填空题

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填空题

若，，且，，则α+β=______．

正确答案

解析

解：由条件可得 sinα==，∴tanα=．

故tan（α+β）==1，再由 0＜α+β＜π可得 α+β=，

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知tanα=-3，则tan（）等于（　　）

A2

B-2

C3

D-3

正确答案

B

解析

解：∵tanα=-3，∴tan（）===-2，

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知关于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在区间（0，2π）上有两个不相等的实数解α，β，求cos（α+β）的值．

正确答案

解：∵cosθ+sinθ+a=0，

∴a=-（cosθ+sinθ）=-2sin（θ+），

由题意可得a=-2sin（α+）=-2sin（β+），

∴α+β=2×=或2×=．

∴cos（α+β）=．

解析

解：∵cosθ+sinθ+a=0，

∴a=-（cosθ+sinθ）=-2sin（θ+），

由题意可得a=-2sin（α+）=-2sin（β+），

∴α+β=2×=或2×=．

∴cos（α+β）=．

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题型：简答题

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简答题

设α，β∈（0，），且tanα=，求证：2α-β=．

正确答案

解：α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，

∴sin（α-β）=cosα=sin（-α）．

再根据α-β∈（-，），-α∈（0，），

可得 α-β=-α，∴2α-β=成立．

解析

解：α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosβsinβ，

∴sin（α-β）=cosα=sin（-α）．

再根据α-β∈（-，），-α∈（0，），

可得 α-β=-α，∴2α-β=成立．

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题型：简答题

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简答题

求证：tan（+）+tan（-）=2tanx．

正确答案

证明：tan（+）+tan（-）

=

==2tanx．

解析

证明：tan（+）+tan（-）

=

==2tanx．

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