三角恒等变换_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•遂宁期末）底面是同-个边长为a的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为R，设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分別为α、β，则tan（α+β）的值为______．

正确答案

解析

解：由题意画出图象如下图：

由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，

所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，

故∠SDA=α，∠MDA=β．

设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，

∴，

因此

=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若（tanα-1）（tanβ-1）=2，则α+β=______．

正确答案

kπ+π（k∈Z）

解析

解：由（tanα-1）（tanβ-1）=tanαtanβ-（tanα+tanβ）+1=2，得到tanα+tanβ=tanαtanβ-1，

则tan（α+β）==-1，所以α+β=kπ+π（k∈Z）

故答案为：kπ+π（k∈Z）

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题型：填空题

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填空题

已知sinx-siny=-，cosx-cosy=且x，y为锐角，则tan（x-y）=______．

正确答案

-

解析

解：∵sinx-siny=-，cosx-cosy=，

两式平方相加得：cos（x-y）=，

∵x、y为锐角，sinx-siny＜0，

∴x＜y，

∴sin（x-y）=-=-，

∴tan（x-y）===-．

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

设tanα和tanβ是方程mx2+（2m-3）x+m-2=0的两个实根，则tan（α+β）的最小值为______．

正确答案

-

解析

解：∵△=（2m-3）2-4m（m-2）=-4m+9≥0，∴m≤且m≠0，

tanα+tanβ=-，tanα•tanβ=．

∴tan（α+β）===≥-且≠．

故答案为：-．

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题型：简答题

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简答题

已知α为锐角，cos（α-）=，求cosα的值．

正确答案

解：∵α为锐角，cos（α-）=，

∴当α∈[，）时，sin（α-）==，

∴cosα=cos[（α-）+]=cos（α-）cos-sin（α-）sin=．

当α∈（0，）时，sin（α-）=-=-，

∴cosα=cos[（α-）+]=cos（α-）cos-sin（α-）sin=．

解析

解：∵α为锐角，cos（α-）=，

∴当α∈[，）时，sin（α-）==，

∴cosα=cos[（α-）+]=cos（α-）cos-sin（α-）sin=．

当α∈（0，）时，sin（α-）=-=-，

∴cosα=cos[（α-）+]=cos（α-）cos-sin（α-）sin=．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，=（2cosA，sinA），=（cosA，-2cosA），=-1．

（1）若a=2，c=2，求S△ABC．

（2）求的值．

正确答案

解：（1）在△ABC中，∵=（2cosA，sinA），=（cosA，-2cosA），=-1，

∴2cosA2-2sinAcosA=-1，即 sin（-2A）=-1，∴-2A=-，∴A=．

由a=2，c=2，利用正弦定理可得，=，即 =，sinC=，∴C=．

∴B=π-A-B=，∴S△ABC=ac=2．

（2）===0．

解析

解：（1）在△ABC中，∵=（2cosA，sinA），=（cosA，-2cosA），=-1，

∴2cosA2-2sinAcosA=-1，即 sin（-2A）=-1，∴-2A=-，∴A=．

由a=2，c=2，利用正弦定理可得，=，即 =，sinC=，∴C=．

∴B=π-A-B=，∴S△ABC=ac=2．

（2）===0．

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题型：填空题

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填空题

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______．

正确答案

解析

解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，

∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．

∴5cosθ-5sinθ=1，

∴cosθ-sinθ=．

∴两边平方得：1-sin2θ=，

∴sin2θ=．

∵θ是直角三角形中较小的锐角，

∴0＜θ＜．

∴cos2θ=．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知sin（α-）=，则cos（+α）=______．

正确答案

解析

解：∵sin（α-）=，

∴cos（+α）=cos[+（α-）]

=-sin（α-）=-，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知0°＜α＜β＜90°，且sinα、sinβ是方程x2-（cos40°）x+cos240°-=0的两个根，求cos（2α-β）的值．

正确答案

解：∵sinα、sinβ是方程x2-（cos40°）x+cos240°-=0的两个根，

∴sinα+sinβ=cos40°，①

sinαsinβ=cos240°-，②

①2-②×2可得sin2α+sin2β=2cos240°-2（cos240°-）=1，

∴sinβ=cosα，又0°＜α＜β＜90°，∴α+β=90°

代入②可得sinαsinβ=sinαcosα=（2cos240°-1）=cos80°，

∴2sinαcosα=sin2α=cos80°=sin10°，∴α=5°，β=85°

∴cos（2α-β）=cos（-75°）=cos75°=cos（30°+45°）

=-=

解析

解：∵sinα、sinβ是方程x2-（cos40°）x+cos240°-=0的两个根，

∴sinα+sinβ=cos40°，①

sinαsinβ=cos240°-，②

①2-②×2可得sin2α+sin2β=2cos240°-2（cos240°-）=1，

∴sinβ=cosα，又0°＜α＜β＜90°，∴α+β=90°

代入②可得sinαsinβ=sinαcosα=（2cos240°-1）=cos80°，

∴2sinαcosα=sin2α=cos80°=sin10°，∴α=5°，β=85°

∴cos（2α-β）=cos（-75°）=cos75°=cos（30°+45°）

=-=

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题型：简答题

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简答题

已知cosα=，cos（α+β）=，且α，β均为锐角，求sin2β的值．

正确答案

解：∵cosα=，cos（α+β）=，且α，β均为锐角，∴sin（α+β）==，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-×=

cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=．

∴sin2β=2sinβcosβ=2××=．

解析

解：∵cosα=，cos（α+β）=，且α，β均为锐角，∴sin（α+β）==，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=-×=

cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=+=．

∴sin2β=2sinβcosβ=2××=．

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题型：填空题

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填空题

化简=______．

正确答案

tanβ

解析

解：∵tan（α+β）=，

∴tan（α+β）（1-tanαtanβ）=tanα+tanβ，

即tan（α+β）-tanα-tanβ=tan（α+β）tanαtanβ．

∴=tanβ．

故答案为 tanβ．

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题型：填空题

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填空题

cos80°cos50°-sin100°sin230°=______．

正确答案

解析

解：由诱导公式可得sin100°=sin（180°-80°）=sin80°，

sin230°=sin（180°+50°）=-sin50°，

∴cos80°cos50°-sin100°sin230°

=cos80°cos50°+sin80°sin50°

=cos（80°-50°）=cos30°=

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

（2015•渭南一模）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA-csinC=（a-b）sinB．角C=（　　）

A30°

B60°

C120°

D150°

正确答案

B

解析

解：由正弦定理可得，sinA=，sinB=，sinC=，

asinA-csinC=（a-b）sinB即为

a2-c2=（a-b）b，

即有a2+b2-c2=ab，

由余弦定理，可得cosC===，

由于C为三角形的内角，

则C=60°．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知锐角α，β满足：sinβ=3cos（α+β）sinα，且α+β≠

（Ⅰ）求证：tan（α+β）=4tanα；

（Ⅱ）求tanβ的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）证明：∵sinβ=sin[（α+β）-α]=3cos（α+β）sinα，

即 sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，

即 sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，

所以：tan（α+β）=4tanα 成立．

（Ⅱ）由：tan（α+β）==4tanα，

化简得：tanβ==≤，

∴tanβ的最大值为，当且仅当tanα=时取到．

解析

解：（Ⅰ）证明：∵sinβ=sin[（α+β）-α]=3cos（α+β）sinα，

即 sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=3cos（α+β）sinα，

即 sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，

所以：tan（α+β）=4tanα 成立．

（Ⅱ）由：tan（α+β）==4tanα，

化简得：tanβ==≤，

∴tanβ的最大值为，当且仅当tanα=时取到．

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题型：单选题

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单选题

已知sin（-α）=，则cos（+2α）=（　　）

A-

B-

C-

D

正确答案

A

解析

解：∵cos（+α）=cos[-（-α）]=sin（-α）=，

∴cos（+2α）=2cos2（+α）-1=-．

故选A

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正确答案

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