三角恒等变换_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知sinα=，α∈（，），则tan（+α）的值是______．

正确答案

解析

解：∵sinα=，α∈（，），∴α∈．

∴=．

∴tanα==-．

则tan（+α）===．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知α是钝角，且sinα=，则tan（-α）=______．

正确答案

2

解析

解：∵α是钝角，且sinα=，∴cosα=-=-，tanα=-．

则tan（-α）===2，

故答案为：2．

1

题型：填空题

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填空题

若=2014，则+tan2α=______．

正确答案

-

解析

解：∵=2014，∴tanα=-，

∴+tan2α=+=+

=+===-，

故答案为：-．

1

题型：填空题

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填空题

设tan（α+β）=，tan（β-）=，则tan（α+）=______．

正确答案

解析

解：∵tan（α+β）=，tan（β-）=，∴tan（α+）===，

1

题型：单选题

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单选题

（2015春•雅安校级月考）已知tan（-α-π）=-5，则tan（+α）的值为（　　）

A5

B-5

C±5

D不确定

正确答案

A

解析

解：∵tan（-α-π）=-5，

∴tan（+α）

=tan[-π-（-α-）]

=tan[-（-α-）]

=-tan（-α-π）=5，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

若等于______．

正确答案

解析

解：由条件利用两角差的正切公式可得 tan（α-β）===-，

故答案为-．

1

题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=Acos（+），x∈R，且f（）=．

（1）求A的值；

（2）设α，β∈[0，]，f（4α+π）=-，f（4β-π）=，求cos（α+β）的值．

正确答案

解析

解：（1）对于函数f（x）=Acos（+），x∈R，由f（）=Acos=A=，

可得A=2．

（2）由于α，β∈[0，]，f（4α+π）=2cos（+）=2cos（α+）=-2sinα=-，

∴sinα=，∴cosα==．

又 f（4β-π）=2cos（+）=2cosβ=，∴cosβ=，∴sinβ==．

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=．

1

题型：填空题

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填空题

若sin（θ+24°）=cos（24°-θ），则tan（θ+60°）=______．

正确答案

解析

解：∵sin（θ+24°）=cos（24°-θ）

∴sinθcos24°+cosθsin24=cos24°cosθ+sin24°sinθ

整理得sinθ（sin24°-cos24°）=cosθ（sin24°-cos24°）

所以sinθ=cosθ

∴tanθ=1

∴tan（θ+60°）==-2-

故答案为：-2-

1

题型：填空题

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填空题

已知向量，则等于______．

正确答案

-3

解析

解：∵

∴cosα=-2sinα

∴tanα=-

∴=-3

故答案为：-3

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，又tanA=，sinB=．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC最短边的长为，求△ABC面积．

正确答案

解：（1）∵sinB=，∴cosB=±，∴tanB=或tanB=-；

当tanB=时，tanC=-tan（A+B）=-=-1；

当tanB=-时，tanC=-tan（A+B）=-=-，

此时BC均为钝角，与三角形内角和定理矛盾，应舍去；

∴tanC=-1；

（2）∵tanA＞tanB＞0，而tanC=-1，∴C=135°

∴c为最大边，b为最小边，

延长BC作BC的高AD交BC于D点，可得BC上的高AD=sin135°=，

∴AB==1，BD=ABcosB=，CD=-ACcosC=×=

∴BC=BD-CD=，∴△ABC面积S=BC•AD=

解析

解：（1）∵sinB=，∴cosB=±，∴tanB=或tanB=-；

当tanB=时，tanC=-tan（A+B）=-=-1；

当tanB=-时，tanC=-tan（A+B）=-=-，

此时BC均为钝角，与三角形内角和定理矛盾，应舍去；

∴tanC=-1；

（2）∵tanA＞tanB＞0，而tanC=-1，∴C=135°

∴c为最大边，b为最小边，

延长BC作BC的高AD交BC于D点，可得BC上的高AD=sin135°=，

∴AB==1，BD=ABcosB=，CD=-ACcosC=×=

∴BC=BD-CD=，∴△ABC面积S=BC•AD=

1

题型：填空题

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填空题

tan17°+tan28°+tan17°tan28°=______．

正确答案

1

解析

解：tan17°+tan28°+tan17°tan28°=tan（17°+28°）（1-tan17°tan28°）+tan17°tan28°=tan45°=1，

故答案为：1．

1

题型：填空题

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填空题

已知tan（α-）=，tan（β+）=，则tan（α+β）=______．

正确答案

1

解析

解：由题意得，tan（α-）=，tan（β+）=，

所以tan（α+β）=tan[（α-）+（β+）]=

===1，

故答案为：1．

1

题型：单选题

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单选题

若A为△ABC的内角，且sin2A=-，则cos（A+）等于（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

B

解析

解：∵A为△ABC的内角，且sin2A=2sinAcosA=-，

结合sin2A+cos2A=1可得sinA=，cosA=-，

∴cos（A+）=（cosA-sinA）=-

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知sin2（α+β）=nsin2y，且sin2y≠0 n≠1，求证：．

正确答案

解：要证等式成立，只要证 =，

只要证（n-1） sin（α+β+y）•cos（α+β-y）=（n+1） sin（α+β-y）•cos（α+β+y），

即证n {sin（α+β+y）•cos（α+β-y）-sin（α+β-y）•cos（α+β+y） }=

即证sin（α+β-y）•cos（α+β+y）+sin（α+β+y）•cos（α+β-y），

即证n sin2y=sin（2α+2β ）=sin2（α+β ）．

而n sin2y=sin2（α+β ）为已知条件，故要证的等式成立．

解析

解：要证等式成立，只要证 =，

只要证（n-1） sin（α+β+y）•cos（α+β-y）=（n+1） sin（α+β-y）•cos（α+β+y），

即证n {sin（α+β+y）•cos（α+β-y）-sin（α+β-y）•cos（α+β+y） }=

即证sin（α+β-y）•cos（α+β+y）+sin（α+β+y）•cos（α+β-y），

即证n sin2y=sin（2α+2β ）=sin2（α+β ）．

而n sin2y=sin2（α+β ）为已知条件，故要证的等式成立．

1

题型：简答题

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简答题

已知tanα，tanβ是方程2x2+3x-7=0的两根，求tan（α+β）的值．

正确答案

解：∵tanα，tanβ，是方程2x2+3x-7=0的两根，

由韦达定理得：…（5分）

∴代入两角和的正切公式可得tan（α+β）

===…（12分）．

解析

解：∵tanα，tanβ，是方程2x2+3x-7=0的两根，

由韦达定理得：…（5分）

∴代入两角和的正切公式可得tan（α+β）

===…（12分）．

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正确答案

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