三角恒等变换_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（I）求f（x）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的坐标系中画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象，并说明y=f（x）的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的．

正确答案

解：（I）函数

=2（cosxcos-sinxsin）（cosxcos+sinxsin）+sin2x

=2（cos2x-sin2x）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）．

故f（x）的最小正周期为 =π，最大值为2．

（Ⅱ）列表：

如图所示：

把y=sin2x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得函数f（x）的图象．

解析

解：（I）函数

=2（cosxcos-sinxsin）（cosxcos+sinxsin）+sin2x

=2（cos2x-sin2x）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）．

故f（x）的最小正周期为 =π，最大值为2．

（Ⅱ）列表：

如图所示：

把y=sin2x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得函数f（x）的图象．

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题型：填空题

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填空题

已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为______．

正确答案

-

解析

解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），

又∵，∴sin==，

∴tan==2，

∴tanθ==-

故答案为：-

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题型：简答题

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简答题

是否存在两个锐角α和β使得两个条件：

① ② 同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：①；②同时成立，

由，可得，即．

∵，

∴，化简得．

由联解，可得或．

∵α、β∈（0，π），

∴或，即或，这与α和β都是锐角矛盾．

因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：①；②同时成立．

解析

解：假设存在两个锐角α和β，使得两个条件：①；②同时成立，

由，可得，即．

∵，

∴，化简得．

由联解，可得或．

∵α、β∈（0，π），

∴或，即或，这与α和β都是锐角矛盾．

因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：①；②同时成立．

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题型：简答题

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简答题

已知cosα=，cosβ=，α、β∈（0，）

（1）求cos（α-β）的值．

（2）求tan（α+β）的值．

正确答案

解：（1）由已知得cosα=，cosβ=．∵α，β为锐角，

∴sinα==，sinβ═=．

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．

（2）由（1）可得tanα=7，tanβ=，∴tan（α+β）===-3．

解析

解：（1）由已知得cosα=，cosβ=．∵α，β为锐角，

∴sinα==，sinβ═=．

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．

（2）由（1）可得tanα=7，tanβ=，∴tan（α+β）===-3．

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题型：填空题

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填空题

函数的值域是______．

正确答案

（-1，1]

解析

解：由题意，函数的定义域为{x|，k∈Z}

∵=cos2x

∵，

∴函数的值域是（-1，1]．

故答案为（-1，1]．

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题型：单选题

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单选题

已知，则sin2θ-2cos2θ的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由 =，解得tanθ=．

∴sin2θ-2cos2θ=-=-

=-=-．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知θ为第二象限角，且cosθ=-，则tan（θ+）=______．

正确答案

解析

解：∵θ为第二象限角，且cosθ=-，∴sinθ==，∴tanθ=-，

则tan（θ+）===-，

故答案为：-．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，若，则cosC的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵△ABC中，sinA=＞0，cosB=-＜0，

∴B为钝角，A为锐角，

∴cosA==，sinB==，

则cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB

=-×（-）+×=．

故选C

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题型：填空题

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填空题

如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi（i=1，2，3），则=______．

正确答案

解析

解：，可令同过P点的三圆的交点分别是A，B，C，连接PA，PB，PC，可得得出∠APB+∠APC+∠BPC=2π，

因为在各个圆的半径相等，故此三个角的大小都为，

由于在圆中同弦所对的圆周角互补，故在各个圆中，AB，BC，CA所与三角相对的圆周角为

故AB，BC，CA所对的圆心角是，

又α1+α2+α3=4π，所以cos=-．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

函数y=sinxsin的最小正周期是（　　）

A

Bπ

C2π

D4π

正确答案

B

解析

解：∵y=sinxsin=sinxcosx=sin2x

∴T==π

故选B

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题型：单选题

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单选题

已知，，则cosα=（　　）

A

B

C或

D

正确答案

A

解析

解：∵，∴，

由此可得，

∴cosα=cos[（）-]=+

==．

故选：A

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，当f（-1）=320且cosx-sinx=时，求f[]的值

正确答案

解：∵cosx-sinx=，∴（cosx-sinx）=cos（x+）=得cos（x+）=

又∵sin2x=-cos（+2x）=1-2cos2（x+）=

∴f[]=f（）=f（7）

由题意y=f（x）关于直线x=3对称

∴f（3+x）=y=f（3-x）

即f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=320

解析

解：∵cosx-sinx=，∴（cosx-sinx）=cos（x+）=得cos（x+）=

又∵sin2x=-cos（+2x）=1-2cos2（x+）=

∴f[]=f（）=f（7）

由题意y=f（x）关于直线x=3对称

∴f（3+x）=y=f（3-x）

即f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=320

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题型：简答题

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简答题

已知5cos（）+7cos=0，求tan•tan的值．

正确答案

解：∵5cos（）+7cos=0，5cos（+）=-7cos（-），

∴5coscos-5sinsin=-7coscos-7sinsin ，

化简可得 12coscos=-2sinsin ，

∴tan•tan=-6．

解析

解：∵5cos（）+7cos=0，5cos（+）=-7cos（-），

∴5coscos-5sinsin=-7coscos-7sinsin ，

化简可得 12coscos=-2sinsin ，

∴tan•tan=-6．

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题型：简答题

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简答题

已知α，β∈（0，），sinα=，tan（α-β）=-，求cosβ的值．

正确答案

解：∵α，β∈（0，），sinα=，∴cosα==，∴tanα==．

又 tan（α-β）=-==，解得tanβ=3．

再根据 sin2β+cos2β=1，=3，求得cosβ=．

解析

解：∵α，β∈（0，），sinα=，∴cosα==，∴tanα==．

又 tan（α-β）=-==，解得tanβ=3．

再根据 sin2β+cos2β=1，=3，求得cosβ=．

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求的值；

（2）当x取什么值时，函数f（x）有最大值，是多少？

正确答案

解：（1）∵f（x）=sin（x-）+sin2x+

=-cosx+1-cos2x+

=-cos2x-cosx+，

∴f（）=--cos+

=--cos+

=-++

=2；

（2）∵f（x）=-cos2x-cosx+=-+2，

∴当cosx=-，

即x=±+2kπ，k∈Z时，f（x）有最大值为2．

解析

解：（1）∵f（x）=sin（x-）+sin2x+

=-cosx+1-cos2x+

=-cos2x-cosx+，

∴f（）=--cos+

=--cos+

=-++

=2；

（2）∵f（x）=-cos2x-cosx+=-+2，

∴当cosx=-，

即x=±+2kπ，k∈Z时，f（x）有最大值为2．

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