三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知α，β，γ∈（0，），且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，则α-β的值等于（　　）

A

B-

C±

D±

正确答案

B

解析

解：sinβ-sinα=sinγ＞0，cosα-cosβ=cosγ＞0，

则（sinβ-sinα）2+（cosα-cosβ）2=1，且β＞α，

即cos（α-β）=（0＜α＜β＜），

则α-β=-．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

化简：4sin（x+10°）+10cos（x+40°）

正确答案

解：4sin（x+10°）+10cos（x+40°）

=4sin（x+10°）+10cos[（x+10°）+30°]

=4sin（x+10°）+10cos（x+10°）cos30°-10sin（x+10°）sin30°

=5cos（x+10°）-sin（x+10°）

=，其中tanθ=．

解析

解：4sin（x+10°）+10cos（x+40°）

=4sin（x+10°）+10cos[（x+10°）+30°]

=4sin（x+10°）+10cos（x+10°）cos30°-10sin（x+10°）sin30°

=5cos（x+10°）-sin（x+10°）

=，其中tanθ=．

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题型：简答题

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简答题

已知sin（-x）=，0＜x＜

（1）求cos（+x）的值

（2）求sin2x的值．

正确答案

解：（1）∵sin（-x）=，

∴cos（+x）==．

（2）sin2x=-==1-=．

解析

解：（1）∵sin（-x）=，

∴cos（+x）==．

（2）sin2x=-==1-=．

1

题型：单选题

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单选题

设0≤x＜2π，且=sinx-cosx，则（　　）

A0≤x≤π

B≤x≤

C≤x≤

D≤x≤

正确答案

B

解析

解：∵，

∴sinx≥cosx．∵x∈[0，2π），∴．

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

函数y=sin2xcos2x的最小正周期是______，最大值是______．

正确答案

解析

解：y=sin2xcos2x=sin4x

∴T==

∵-1≤sin4x≤1

ymax=

故答案为：；．

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题型：填空题

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填空题

函数y=sinx+cosx的最小正周期是______．

正确答案

2π

解析

解：∵y=sinx+cosx═sin（x+），∴T==2π．

故答案为 2π

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题型：简答题

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简答题

已知函数．且，

（1）求函数f（x）的单调减区间；

（2）求函数f（x）的最大值与取得最大值时x的集合；

（3）若，求sin2α的值．

正确答案

解：（1）=Asinx+cosx

∵，∴，∴A=1

∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+）

令x+∈（k∈Z），可得x∈（k∈Z）

即函数f（x）的单调减区间为（k∈Z）；

（2）令x+=，可得x=（k∈Z），此时求函数f（x）取到最大值；

（3）∵，

∴sinα+cosα=

两边平方可得1+sin2α=

∴sin2α=-．

解析

解：（1）=Asinx+cosx

∵，∴，∴A=1

∴f（x）=sinx+cosx=sin（x+）

令x+∈（k∈Z），可得x∈（k∈Z）

即函数f（x）的单调减区间为（k∈Z）；

（2）令x+=，可得x=（k∈Z），此时求函数f（x）取到最大值；

（3）∵，

∴sinα+cosα=

两边平方可得1+sin2α=

∴sin2α=-．

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标平面内，已知函数f（x）=loga（x+2）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角θ的终边过点P，则cos2θ+sin2θ的值等于______．

正确答案

解析

解：∵函数f（x）=loga（x+2）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（-1，3），

|OP|=．

又角θ的终边过点P，∴，．

∴cos2θ+sin2θ=cos2θ+2sinθcosθ

==．

故答案为-．

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题型：单选题

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单选题

已知函数，x∈R，又，若|α-β|的最小值为，则正数ω的值为（　　）

A2

B1

C

D

正确答案

D

解析

解：

=-cos2ωx+sin2ωx

=cos（2ωx-）+

f（α）=-

∴cos（2ωα-）=-1；

∴2ωα-=（2k1+1）π；

∵f（β）=

∴cos（2ωβ-）=0；

∴2ωβ-=k2π+；

∴2ωα-2ωβ=（2k1-k2）π+；

∴2ω•|α-β|=（2k1-k2） π+；

∵|α-β|≥，则

∴2ω≤[（2k1-k2）π+]=[4（2k1-k2）+2]

ω≤[2（2k1-k2）+1]

取k1=k2=1，

则可知ω=

故选D．

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题型：填空题

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填空题

已知sinα+cosα=，α∈（0，π），那么sin2α，cos2α的值分别为______．

正确答案

-；-

解析

解：∵sinα+cosα=，∴1+sin2α=，求得sin2α=2sinαcosα=-＜0，

故α为钝角，∴sinα＞0，cosα＜0．

再根据 sin2α+cos2α=1求得sinα=，cosα=，

∴cos2α=2cos2α-1=-，

故答案为：-；-．

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题型：单选题

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单选题

设sin2α=-sinα，α∈（，π），则tan2α的值是（　　）

A

B-

C1

D-1

正确答案

A

解析

解：∵sin2α=2sinαcosα=-sinα，α∈（，π），

∴cosα=-，sinα==，

∴tanα=-，

则tan2α==．

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

已知sin（-C）•sinC=，求∠C．

正确答案

解：sin（-C）•sinC=（）•sinC=sinCcosC-sin2C

=sin2C-+cos2C=sin（2C+）-，

∵sin（-C）•sinC=，

∴sin（2C+）-=，

即sin（2C+）=，

则2C+=，或2C+=+2kπ，k∈Z，

解得C=+kπ或C=+kπ，k∈Z．

解析

解：sin（-C）•sinC=（）•sinC=sinCcosC-sin2C

=sin2C-+cos2C=sin（2C+）-，

∵sin（-C）•sinC=，

∴sin（2C+）-=，

即sin（2C+）=，

则2C+=，或2C+=+2kπ，k∈Z，

解得C=+kπ或C=+kπ，k∈Z．

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题型：单选题

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单选题

已知sinα+cosα=，则sin2α=（　　）

A-

B

C

D

正确答案

D

解析

解：已知sinα+cosα=，平方可得 1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=-，

∴sin2α=-，

故选 D．

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题型：单选题

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单选题

已知函数，下列说法正确的是（　　）

A

Bf（x）的最小正周期是2π

Cf（x）有最大值

Df（x）有最小值

正确答案

C

解析

解：∵函数 f（x）=sinxcosx=sin2x，∴f（0）=0，且最小正周期等于=π，故A、B都不正确．

再由-＜x≤可得-＜2x≤，故函数有最大值而没有最小值，故D不正确C正确，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知=（1，sinθ），=（3sinθ，1）且∥，则cos2θ=（　　）

A-

B

C

D

正确答案

D

解析

解：因为，

所以3sin2θ-1=0，

cos2θ=1-2sin2θ=1-=．

故选D．

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