三角恒等变换
共11991题

三角恒等变换
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题型：简答题

简答题

如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=-；

（Ⅱ）∵sinα=，cosα=-，

∴原式=

=．

解析

解：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=-；

（Ⅱ）∵sinα=，cosα=-，

∴原式=

=．

题型：单选题

单选题

若△ABC的内角A满足，则sinA-cosA=（　　）

正确答案

解析

解：∵A是三角形的内角，∴sinA＞cosA．

∵（sinA-cosA）2=1-2sinAcosA=1-sin2A=1-=．

∴．

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知向量，，函数

（1）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值；

（2）求f（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）f（x）=sin2x-cos2x+1==．

∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x-≤，

∴≤sin≤1，∴1≤2sin≤2，

于是2≤2sin+1≤3，

∴f（x）的最大值是3，最小值是2．

（2）由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，

∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为，k∈Z，

同理由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z得

f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

解析

解：（1）f（x）=sin2x-cos2x+1==．

∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x-≤，

∴≤sin≤1，∴1≤2sin≤2，

于是2≤2sin+1≤3，

∴f（x）的最大值是3，最小值是2．

（2）由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z，

∴kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为，k∈Z，

同理由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z得

f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

题型：单选题

单选题

sin15°sin75°=（　　）

正确答案

解析

解：因为sin15°sin75°=sin15°cos15°==．

故选D．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=sin2x-cos2x，x∈R最小正周期和最大值分别是（　　）

Aπ，1

Bπ，2

C2π，1

D2π，2

正确答案

解析

解：f（x）=sin2x-cos2x=-cos2x，最小正周期为π，最大值为1．

故选A．

题型：单选题

单选题

函数是（　　）

A周期为的奇函数

B周期为的偶函数

C周期为的奇函数

D周期为的偶函数

正确答案

解析

解：∵y=sin2xcos2x=sin4x

∴T=2π÷4=，

∵原函数为奇函数，

故选A

题型：填空题

填空题

在中，a的取值范围是______．

正确答案

≤a≤

解析

解：∵，∵

∴sinx+cosx=a-

即sin（x+）=a-，

∵-1≤sin（x+）≤1，

∴-1≤a-≤1，

解得≤a≤

故答案为：≤a≤

题型：填空题

填空题

设sin（+θ）=，则sin2θ=______．

正确答案

解析

解：∵sin（+θ）=，即 +=，平方可得 +sin2θ=，解得 sin2θ=-，

故答案为-．

题型：单选题

单选题

函数y=sinxsin（+x）（x∈R）的最大值是（　　）

B-1

C-

正确答案

解析

解：∵y=sinxsin（+x）=sinxcosx=sin2x（x∈R），

∴ymax=．

故选：A．

题型：单选题

单选题

已知cos=-，8π＜α＜12π，则sin的值是（　　）

B-

C-

D±

正确答案

解析

解：∵8π＜α＜12π，

∴π＜＜，

又cos=-，

∴sin=-，

∴sin=2sin•cos=2×（-）×（-）=，

故选：A．

题型：填空题

填空题

sin16°sin224°+cos16°sin46°=______．

正确答案

解析

解：sin16°sin224°+cos16°sin46°=-sin16°sin44°+cos16°sin46°

=cos16°cos44°-sin16°sin44°=cos（16°+44°）=cos60°=，

故答案为．

题型：单选题

单选题

函数f（x）=cos（x+）•cosx的最小正周期是（　　）

Bπ

C2π

D4π

正确答案

解析

解：∵f（x）=cos（x+）•cosx=-sinx•cosx=-sin2x．

∴f（x）的最小正周期为=π．

故选：B．

题型：填空题

填空题

函数y=2sinxcosx-1，x∈R的值域是______．

正确答案

[-2，0]

解析

解：y=2inxcosx-1=sin2x-1

∵-1≤sin2x≤1

∴-2≤sin2x-1≤0

故答案为[-2，0]

题型：填空题

填空题

已知sin2α=，，则sinα+cosα的值为______．

正确答案

解析

解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，cosα＜0，

∴sinα+cosα＜0，

又sin2α=，

∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+sin2α=，

则sinα+cosα=-．

故答案为：-

题型：简答题

简答题

已知函数．

（1）求f（x）的周期与值域；

（2）求f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

正确答案

解（1）

∴f（x）的周期T=π，值域为[]；

（2）令（k∈Z），则

∵x∈[0，π]，∴

∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间为．

解析

解（1）

∴f（x）的周期T=π，值域为[]；

（2）令（k∈Z），则

∵x∈[0，π]，∴

∴f（x）在[0，π]上的单调递减区间为．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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