三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题

x为三角形的一个内角，且sinx+cosx=，则sin2x等于（　　）

A

B-

C3

D-3

正确答案

B

解析

解：将已知等式左右两边平方得：（sinx+cosx）2=（）2，

整理得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，

解得：sin2x=-．

故选B

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；

（2）若不等式|f（x）-m|≤3对一切x∈[-，]恒成立，求实数m的取值范围；

（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．

正确答案

解：（1）f（x）=-2sin2x+2sinxcosx+2

=sin2x+cos2x+1

=2sin（2x+）+1，

∴f（x）的最小正周期为T==π．

令2x+=kπ，则x=-（k∈Z），

∴f（x）的对称中心为（-，1）（k∈Z）．

（2）∵x∈[-，]，

∴-≤2x+≤，

∴-≤sin（2x+）≤1，

∴0≤f（x）≤3．

∴当x=-时，f（x）的最小值为0；

当x=时，f（x）的最大值为3．

由题意得，-3≤f（x）-m≤3，

∴m-3≤f（x）≤m+3对一切x∈[-，]恒成立，

∴，解得0≤m≤3，

∴所求实数m的取值范围为[0，3]．

（3）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），

得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），

又x∈[-π，π]，

∴f（x）的单调递减区间为[-，-]，[，]．

解析

解：（1）f（x）=-2sin2x+2sinxcosx+2

=sin2x+cos2x+1

=2sin（2x+）+1，

∴f（x）的最小正周期为T==π．

令2x+=kπ，则x=-（k∈Z），

∴f（x）的对称中心为（-，1）（k∈Z）．

（2）∵x∈[-，]，

∴-≤2x+≤，

∴-≤sin（2x+）≤1，

∴0≤f（x）≤3．

∴当x=-时，f（x）的最小值为0；

当x=时，f（x）的最大值为3．

由题意得，-3≤f（x）-m≤3，

∴m-3≤f（x）≤m+3对一切x∈[-，]恒成立，

∴，解得0≤m≤3，

∴所求实数m的取值范围为[0，3]．

（3）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z），

得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），

即f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），

又x∈[-π，π]，

∴f（x）的单调递减区间为[-，-]，[，]．

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题型：单选题

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单选题

若，则a的取值范围是（　　）

A

B-2≤α≤-1

C

D

正确答案

B

解析

解：∵sinx-cosx=2sin（x-）

∴-2≤sinx-cosx=4a+6≤2

解得：-2≤a≤-1

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

使f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值是（　　）

A-

B-

C

D

正确答案

C

解析

解：∵f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-）为奇函数，

∴f（0）=0，即sin（θ-）=0．∴θ-=kπ，k∈z，故 θ=kπ+，k∈z．

当k为奇数时，令k=2n-1，θ=2nπ-，n∈z，此时f（x）=-2sin2x，满足在[0，]上是减函数，

当k为偶数时，令k=2n，θ=2nπ+，n∈z，此时f（x）=2sin2x，不满足在[0，]上是减函数．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

函数y=sinx•cosx的图象的值域是______，周期是______，此函数为______函数（填奇偶性）

正确答案

[-，]

π

奇

解析

解：y=sinx•cosx=sin2x，

∴值域是[-，]；周期是π，此函数为奇函数．

故答案为：[-，]；π；奇

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题型：填空题

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填空题

已知sinα+cosα=，则 sin2α的值为______．

正确答案

解析

解：∵已知sinα+cosα=，平方可得1+2sinαcosα=1+sin2α=，

解得 sin2α=-，

故答案为-．

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题型：简答题

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简答题

已知直线y=m与函数f（x）=sin2ωx-sinωxcosωx（ω＞0）的图象相切，并且两相邻切点的横坐标之差为．

（1）求ω，m的值．

（2）求f（x）在[0，]上的单调递减区间．

正确答案

解：（1）函数f（x）=sin2ωx-sinωxcosωx==-+，

由题意可得：=T=，解得ω=2．

m=或．

（2）由（1）可得：f（x）=，

由2k≤，解得≤x≤+，（k∈Z）．

∴∩[0，]=∪，（k∈Z）．

∴f（x）在[0，]上的单调递减区间是：，，（k∈Z）．

解析

解：（1）函数f（x）=sin2ωx-sinωxcosωx==-+，

由题意可得：=T=，解得ω=2．

m=或．

（2）由（1）可得：f（x）=，

由2k≤，解得≤x≤+，（k∈Z）．

∴∩[0，]=∪，（k∈Z）．

∴f（x）在[0，]上的单调递减区间是：，，（k∈Z）．

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题型：单选题

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单选题

已知是第四象限角，且cos=，则sinθ的值为（　　）

A-

B

C-

D

正确答案

D

解析

解：∵是第四象限角，且cos=，

∴sin=-=-

因此，sinθ=2sincos=2×（-）×=2×（）

∵x≤-1

∴sinθ=

故选：D

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题型：简答题

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简答题

已知=，求cosα．

正确答案

解：∵已知=2cos=，∴cos=，∴cosα=2-1=2×-1=．

解析

解：∵已知=2cos=，∴cos=，∴cosα=2-1=2×-1=．

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题型：单选题

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单选题

函数y=sinx-sin（x-）的一个单调增区间是（　　）

A[，]

B[]

C[]

D[]

正确答案

B

解析

解：y=sinx-sin（x-）=sinx-sinxcos+cosxsin=sinx+cosx=sin（x+），

由，得，k∈Z，

所以函数y=sinx-sin（x-）的一个单调增区间是[-，]，

故选B．

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题型：单选题

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单选题

函数的最小正周期是（　　）

A4π

B2π

Cπ

D

正确答案

B

解析

解：=-1=cosx-，所以最小正周期T=2π

故选B

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题型：填空题

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填空题

已知sin2α=，，则sinα+cosα=______．

正确答案

解析

解：由题设（sinα+cosα）2=1+sin2α=1=

又，得sinα+cosα＞0

故sinα+cosα=

故答案为

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•肇庆期末）已知tanα=2，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵tanα=2，则=sinα•cosα===，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

D

解析

解：因为==-sin=-．

故选D．

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题型：单选题

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单选题

已知α是第二象限角，且，则tan2α=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

B；解析：由α是第二象限角且得；

∴，；

∴．

故选B

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