三角恒等变换_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知tanx=2，则的值为______．

正确答案

-0.4

解析

解：∵tanx=2，

则=

=

=-0.4

1

题型：单选题

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单选题

函数f（x）=sin2x-cos2x的一个单调递增区间是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由三角函数公式化简可得f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-），

由2kπ-≤2x-≤2kπ+可解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数f（x）=sin2x-cos2x的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，

结合选项取k=可得函数的一个单调递增区间为：[-，]，

故选：D

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题型：填空题

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填空题

如图，以摩天轮中心为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，动点初始位于点P0（4，-3）处，现将其绕原点O逆时针旋转120°角到达点P处，则此时点P的纵坐标为______．

正确答案

解析

解：记∠xOP0=α，由三角函数的定义可得，，

又由题意可得OP为α+120°的终边，

∴sin（α+120°）=sinα+cosα

==

∴此时点P的纵坐标为：5×=

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

已知sinα-sinβ=，cosα-cosβ=，则cos2等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵（sinα-sinβ）2=，（cosα-cosβ）2=，

两式相加得：2-2sinαsinβ-2cosαcosβ=1，

∴cos（α-β）=，

∴cos2==．

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=

（1）求f（x）的单调减区间

（2）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边a，b，c且满足（2b-a）cosC=c•cosA，求f（A）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinx++

=cossinx+sincosx+1

=sin（x+）+1．

由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z）

得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），

∴f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．

（2）∵△ABC中，（2b-a）cosC=c•cosA，

∴由正弦定理===2R

得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC，

∴（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，

∴2sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin[π-（A+C）]=sinB，sinB≠0，

∴cosC=，C∈（0，π），

∴C=．

又△ABC为锐角三角形，

∴0＜B=-A＜且0＜A＜，

解得A∈（，），

∴＜A+＜，

∴＜sin（A+）≤1，

∴1+＜f（A）=sin（A+）+1≤2，

即f（A）∈（1+，2]．

解析

解：（1）∵f（x）=sinx++

=cossinx+sincosx+1

=sin（x+）+1．

由2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z）

得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），

∴f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．

（2）∵△ABC中，（2b-a）cosC=c•cosA，

∴由正弦定理===2R

得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC，

∴（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，

∴2sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin[π-（A+C）]=sinB，sinB≠0，

∴cosC=，C∈（0，π），

∴C=．

又△ABC为锐角三角形，

∴0＜B=-A＜且0＜A＜，

解得A∈（，），

∴＜A+＜，

∴＜sin（A+）≤1，

∴1+＜f（A）=sin（A+）+1≤2，

即f（A）∈（1+，2]．

1

题型：单选题

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单选题

2sin105°cos105°的值为（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

A

解析

解：2sin105°cos105°=2cos15°sin15°=sin30°=，

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．

（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．

正确答案

解：（1）①设，即，

取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．

②设a（x2-x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2-（a-b）x+b=x2-x+1，

则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．

（2）因为，

所以，

不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，

等价于在[2，4]上有解，

令s=log2x，则s∈[1，2]，由，

知y取得最小值-5，所以t＜-5．

解析

解：（1）①设，即，

取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．

②设a（x2-x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2-（a-b）x+b=x2-x+1，

则，该方程组无解．所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．

（2）因为，

所以，

不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，

等价于在[2，4]上有解，

令s=log2x，则s∈[1，2]，由，

知y取得最小值-5，所以t＜-5．

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题型：填空题

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填空题

sin75°cos30°-sin15°sin150°=______．

正确答案

解析

解：sin75°cos30°-sin15°sin150°=sin75°cos30°-cos75°sin30°=sin（75°-30°）=sin45°=

答案：．

1

题型：填空题

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填空题

若sinθ：sin=2：3，则cosθ=______．

正确答案

-

解析

解：∵，∴，

∴==-．

故答案为．

1

题型：单选题

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单选题

若把函数y=sinx+cosx的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于坐标原点对称，则m的最小值是（　　）

A

Bπ

C

Dπ

正确答案

A

解析

解：y=sinx+cosx=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）．

将函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，得到y=2sin[（x-m）+]=2sin（x+-m）的图象．

∵平移后得到的图象关于坐标原点对称，

∴-m=kπ（k∈Z），可得m=-kπ（k∈Z），

取k=0，得到m的最小正值为．

故选：A

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题型：填空题

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填空题

已知sin（α+β）+cos（α+β）=0，2sin（α-β）-cos（α-β）=0，则=______．

正确答案

解析

解：∵sin（α+β）+cos（α+β）=0，

∴cos（α+β）≠0，

∴tan（α+β）=-1，

即=-1①；

又∵2sin（α-β）-cos（α-β）=0，

∴cos（α-β）≠0，

∴tan（α-β）=，

即=②；

由①、②组成方程组，解得

，或；

当tanα=3+，tanβ=时，

sin2α===，

sin2β===；

∴=；

同理，当tanα=3-，tanβ=时，

sin2α=-，sin2β=-；

∴=．

综上，=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知x，y为锐角，且满足cos x=，cos（x+y）=，则sin y的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：已知x，y为锐角，且满足cos x=，sinx=；cos（x+y）=，sin（x+y）=

siny=sim（x+y-x）=sin（x+y）cosx-cos（x+y）sinx=

故选C

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题型：填空题

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填空题

已知sin（-α）=，0，则的值为______．

正确答案

解析

解：由于sin（-α）=，0，

则0＜＜，cos（-α）==．

则cos2α=sin2（-α）=2sin（-α）cos（-α）=2×=，

故==．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

（I）求φ；

（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；

（Ⅲ）设函数g（x）=f（+）sinx+-cos2x，求y=g（x）的最小正周期在区间[0，]上的最大值．

正确答案

解：（I）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象的一条对称轴是直线x=，

∴f（0）=f（），即sinφ=sin（+π）=cosφ，∴φ=．

（Ⅱ）∵函数y=f（x）=sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，

求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（Ⅲ）设函数g（x）=f（+）sinx+-cos2x=sin（x+）sinx+-•

=cosx•sinx-=sin（2x-），

故它的周期为=π．

在区间[0，]上，2x-∈[-，]，sin（2x+）∈[-，1]，

故函数f（x）的最大值为1．

解析

解：（I）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的图象的一条对称轴是直线x=，

∴f（0）=f（），即sinφ=sin（+π）=cosφ，∴φ=．

（Ⅱ）∵函数y=f（x）=sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，

求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（Ⅲ）设函数g（x）=f（+）sinx+-cos2x=sin（x+）sinx+-•

=cosx•sinx-=sin（2x-），

故它的周期为=π．

在区间[0，]上，2x-∈[-，]，sin（2x+）∈[-，1]，

故函数f（x）的最大值为1．

1

题型：填空题

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填空题

函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，则直线l：ax+by+c=0的倾斜角为______．

正确答案

解析

解：令y=f（x）=asinx+bcosx，

∵函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，

∴f（0）=f（），

代值可得f（0）=b，f（）=a，∴a=b，

∴直线ax+by+c=0的斜率k=-=-1，

设其倾斜角为α，则k=tanα=-1．

∴α=，

故答案为：．

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