三角恒等变换_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

若f（sinx）=2-cos2x，则f（cosx）等于（　　）

A2-sin2x

B2+sin2x

C2-cos2x

D2+cos2x

正确答案

D

解析

解：∵f（sinx）=2-（1-2sin2x）=1+2sin2x，

∴f（x）=1+2x2，（-1≤x≤1）

∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．

故选D

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，化简cos2+cos2=______．

正确答案

1

解析

解：△ABC中，化简cos2+cos2=+=+=1，

故答案为：1．

1

题型：单选题

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单选题

已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y=3x上，则cos2θ=（　　）

A

B

C

D-

正确答案

D

解析

解：由题意知：直线的斜率k=tanθ=3，

∴cos2θ=cos2θ-sin2θ===，

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知＜α＜β＜，且sin（α+β）=，cos（α-β）=．

（1）判断α-β的范围；

（2）用α+β，α-β，表示2α；

（3）求cos2α的值．

正确答案

解：（1）由于＜α＜β＜，则-＜-β＜-，且α-β＜0，

即有-＜α-β＜0；

（2）2α=（α+β）+（α-β）；

（3）由于＜α＜β＜，则＜α+β＜π，

则有cos（α+β）=-=-=-，

由-＜α-β＜0，则sin（α-β）=-=-．

则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]

=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）

=（-）×-=-．

解析

解：（1）由于＜α＜β＜，则-＜-β＜-，且α-β＜0，

即有-＜α-β＜0；

（2）2α=（α+β）+（α-β）；

（3）由于＜α＜β＜，则＜α+β＜π，

则有cos（α+β）=-=-=-，

由-＜α-β＜0，则sin（α-β）=-=-．

则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]

=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）

=（-）×-=-．

1

题型：单选题

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单选题

已知角α是三角形的内角，且tanα+=-，则cos2α=（　　）

A

B-

C±

D

正确答案

C

解析

解：∵角α是三角形的内角，且tanα+=-，则α为钝角，且+===-，

求得sin2α=-．

再结合2α∈（π，2π），可得cos2α=±=±，

故选：C．

1

题型：填空题

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填空题

设α为三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则cos2α=______．

正确答案

解析

解：∵sinα+cosα=，

∴两边平方可得sin2α=

∵α为三角形的一个内角，

∴sinα＞0，cosα＜0

∴cosα-sinα=-=-

∴cos2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数．

（Ⅰ）若，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，b=l，c=4，求a的值．

正确答案

解：（Ⅰ）==． …（4分）

∵，

∴，

∴，即．

∴f（x）max=1，此时，

∴． …（8分）

（Ⅱ）∵，

在△ABC中，∵0＜A＜π，，

∴，． …（10分）

又b=1，c=4，

由余弦定理得a2=16+1-2×4×1×cos60°=13

故． …（12分）

解析

解：（Ⅰ）==． …（4分）

∵，

∴，

∴，即．

∴f（x）max=1，此时，

∴． …（8分）

（Ⅱ）∵，

在△ABC中，∵0＜A＜π，，

∴，． …（10分）

又b=1，c=4，

由余弦定理得a2=16+1-2×4×1×cos60°=13

故． …（12分）

1

题型：单选题

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单选题

设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵0≤θ＜2π，sinθ＜0，

∴π＜θ＜2π，

∵cos2θ＜0，

∴1-2sin2θ＜0，

∴或，

综上可知，

故选D

1

题型：填空题

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填空题

已知=2（cosα，sinα），=2（cosβ，sinβ），=（，1）则cos2（α-β）=______．

正确答案

-

解析

解：由题意可得，=（2cosα-2cosβ，2sinα-2sinβ）=（，1），

∴2cosα-2cosβ=，2sinα-2sinβ=1．

再把这2个式子平方相加可得4+4-8cosαcosβ-8sinαsinβ=4，即 cos（α-β）=-，

∴cos2（α-β）=2cos2（α-β）-1=2×-1=-，

故答案为：-．

1

题型：简答题

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简答题

α，β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=-，求sinβ的值．

正确答案

解：∵α，β都是锐角，且，，

∴，，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

==．

解析

解：∵α，β都是锐角，且，，

∴，，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

==．

1

题型：简答题

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简答题

求函数y=2cos2x-的图象与x轴及直线x=0、x=π所围成的图形的面积．

正确答案

解：由条件，令y=2cos2x-=0，可得x=或，

∴图象与x轴交点的横坐标为或，

∴S=2（2cos2x-）dx+2（-2cos2x+）dx

=2×（sin2x-x）+2×（-sin2x+x）=．

解析

解：由条件，令y=2cos2x-=0，可得x=或，

∴图象与x轴交点的横坐标为或，

∴S=2（2cos2x-）dx+2（-2cos2x+）dx

=2×（sin2x-x）+2×（-sin2x+x）=．

1

题型：单选题

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单选题

计算cos23°sin53°-sin23°cos53°的值等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意得，cos23°sin53°-sin23°cos53°

=sin（53°-23°）

=sin30°=，

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x．

（1）求它的最小正周期；

（2）求它的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）∵y=（sinx+cosx）2+2cos2x

=1+2sinxcosx+1+cos2x

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2．

∴它的最小正周期T=π；

（2）∵y=sin（2x+）+2，

∴ymax=2+，ymin=2-．

解析

解：（1）∵y=（sinx+cosx）2+2cos2x

=1+2sinxcosx+1+cos2x

=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2．

∴它的最小正周期T=π；

（2）∵y=sin（2x+）+2，

∴ymax=2+，ymin=2-．

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题型：填空题

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填空题

函数y=cos2x-sin2x的最小正周期T=______．

正确答案

π

解析

解：y=cos2x-sin2x=cos2x，

∴函数y=cos2x-sin2x的最小正周期T==π．

故答案为：π．

1

题型：单选题

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单选题

已知tanθ=-2（）则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵tanθ=-2，-＜θ＜0，

∴cosθ==，

则===．

故选A

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