三角恒等变换_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

已知，则的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵

∴

∴=-

∴=2=2×

故选A

1

题型：简答题

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简答题

已知，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和．

（1）求m、n的值；

（2）用五点法画出f（x）在一个周期内的大致图象．

（3）若函数g（x）=af（x）+1在区间上的最大值与最小值之和为3，求a的值．

正确答案

解：（1）求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过，求得m=1，n=1．

（2）由（1）可得，

列表：

如图：

（3）∵，，∴，

∴，

或，

∴．

解析

解：（1）求得f（x）=mcos2x+nsin2x，再根据它的图象过，求得m=1，n=1．

（2）由（1）可得，

列表：

如图：

（3）∵，，∴，

∴，

或，

∴．

1

题型：单选题

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单选题

若函数f（x）=1-2sin2（x+）（x∈R），则f（x）是（　　）

A最小正周期为π的偶函数

B最小正周期为π的奇函数

C最小正周期为的偶函数

D最小正周期为的奇函数

正确答案

B

解析

解：∵函数f（x）=1-2sin2（x+）

=cos（2x+）

=-sin2x（x∈R），

∴f（x）是奇函数，且周期为=π，

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

已知x是锐角，且cosx=，则sin（x）=______．

正确答案

解析

解：∵x是锐角，且cosx=，

∴sinx==，

∴sin（x）=sinx+cosx

=+=

故答案为：

1

题型：单选题

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单选题

已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

C

解析

解：把sinα+cosα=，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，

整理得：2sinαcosα=-＜0，

∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，

∵α为第二象限角，

∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，

∴sinα-cosα=，

则cos2α=-（sinα+cosα）（sinα-cosα）=-．

故选：C

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=cos2-sincos-．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间

（Ⅱ）求不等式f（x）≤-的解集．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2-sincos-=（cosx-sinx）=cos（x+），

故函数的最小正周期为2π，

令2kπ-π≤x+≤2kπ，求得2kπ-≤x≤2kπ-，k∈z，

故函数的增区间为[2kπ-，2kπ-]，k∈z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-，即 cos（x+）≤-，

∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，

故不等式的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+ }，k∈z．

解析

解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2-sincos-=（cosx-sinx）=cos（x+），

故函数的最小正周期为2π，

令2kπ-π≤x+≤2kπ，求得2kπ-≤x≤2kπ-，k∈z，

故函数的增区间为[2kπ-，2kπ-]，k∈z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得由不等式f（x）≤-，即 cos（x+）≤-，

∴2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z，

故不等式的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+ }，k∈z．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（-2sin（π-x），cosx），=（cosx，2sin（-x）），函数f（x）=1-•．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求f（x）的周期及单调递增区间．

正确答案

解：（1）∵•=2sin（π-x）cosx+2cosxsin（-x）

=-2sinxcosx+2cos2x=-sin2x+cos2x+1 2分

∴f（x）=1-•=sin2x-cos2x，…（3分）

∴f（x）=2sin（2x-）．…（4分）

（2）由（1）知f（x）的周期为π由-+2kπ≤2x-≤+2kπ （k∈Z），

解得-+kπ≤x≤+kπ （k∈Z）…（6分）

∴f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）…（12分）

解析

解：（1）∵•=2sin（π-x）cosx+2cosxsin（-x）

=-2sinxcosx+2cos2x=-sin2x+cos2x+1 2分

∴f（x）=1-•=sin2x-cos2x，…（3分）

∴f（x）=2sin（2x-）．…（4分）

（2）由（1）知f（x）的周期为π由-+2kπ≤2x-≤+2kπ （k∈Z），

解得-+kπ≤x≤+kπ （k∈Z）…（6分）

∴f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知，，求sinα及．

正确答案

解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，

即①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故②

由①和②式得，

因此，，由两角和的正切公式

解析

解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，

即①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故②

由①和②式得，

因此，，由两角和的正切公式

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知∠α的顶点为原点O，其始边与x轴正方向重合，终边过两曲线y=和y=的交点，则cos2α+cot（+α）=______．

正确答案

-+

解析

解：∵两曲线y=和y=的交点为P（-1，），故∠α的终边经过点P（-1，），

故cosα==-，sinα==，tanα=-，

∴cos2α+cot（+α）=2cos2α-1-tanα=2•-1+=-+，

故答案为：-+．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=-2cos2（+x）+1是（　　）

A最小正周期为π的奇函数

B最小正周期为π的偶函数

C最小正周期为的奇函数

D最小正周期为的非奇非偶函数

正确答案

A

解析

解：y=-2cos2（+x）+1=-=sin2x，

∴=π．

∴函数y=-2cos2（+x）+1是最小正周期为π的奇函数．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，-2sinB），=（2cos2-1，cos2B），且∥，B为锐角，b=2，则△ABC面积S△ABC的最大值为（　　）

A1

B2

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意可得=，即 =，求得tan2B=-=，

再结合△ABC中，B为锐角，求得tanB=，可得B=．

再由余弦定理可得b2=4=a2+c2-2ac•cosB≥2ac-ac=ac，∴ac≤4，

故△ABC面积S△ABC =ac•sinB≤•4•=，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=cos2（）-cos2（）则f（）等于（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

B

解析

解：函数f（x）=cos2（）-cos2（）=cos2（）-sin2（）=cos2（）=-sin2x，

则f（）=-sin=-，

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=

（1）求函数f（x）的单调减区间；

（2）若不等式|f（x）-m|＜1对任意恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f（x）=

=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1

令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

∴函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z

（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m

∵，得2x-∈[-，]

∴-1≤sin（2x-）≤，得f（x）=sin（2x-）-1∈[-2，-]

∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意恒成立

∴-2≥-1+m且1+m≥-，解之得-≤m≤-1

即实数m的取值范围是[-，-1]．

解析

解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）

∴f（x）=

=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1

令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z

解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

∴函数f（x）的单调减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z

（2）不等式|f（x）-m|＜1，即-1+m＜f（x）＜1+m

∵，得2x-∈[-，]

∴-1≤sin（2x-）≤，得f（x）=sin（2x-）-1∈[-2，-]

∵不等式|f（x）-m|＜1，对任意恒成立

∴-2≥-1+m且1+m≥-，解之得-≤m≤-1

即实数m的取值范围是[-，-1]．

1

题型：填空题

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填空题

已知f（x）=sin（x+1）-cos（x+1），则f（1）+f（2）+…+f（2014）=______．

正确答案

解析

解：∵f（x）=sin（x+1）-cos（x+1）

=2[sin（x+1）-cos（x+1）]

=2sin[（x+1）-]

=2sinx，

∴其最小正周期T==6，

∴f（1）+f（2）+…+f（6）=2（sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π）=0，

∴f（1）+f（2）+…+f（2014）

=f（1）+f（2）+…+f（2010）+f（2011）+f（2012）+f（2013）+f（2014）

=335×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）

=2（sin+sin+sinπ+sin）

=2（++0-）

=．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数y=sinx+cosx，x∈R．

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图象可由y=sinx （x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

正确答案

解：（1）y=sinx+cosx

=2（sinxcos+cosxsin）

=2sin（x+），x∈R

y取得最大值必须且只需

x+=，k∈Z，

即x=，k∈Z．

所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=+2kπ，k∈Z}．

（2）变换的步骤是：

①把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象；

②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin（x+）的图象；

经过这样的变换就得到函数y=sinx+cosx的图象．

解析

解：（1）y=sinx+cosx

=2（sinxcos+cosxsin）

=2sin（x+），x∈R

y取得最大值必须且只需

x+=，k∈Z，

即x=，k∈Z．

所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{x|x=+2kπ，k∈Z}．

（2）变换的步骤是：

①把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象；

②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin（x+）的图象；

经过这样的变换就得到函数y=sinx+cosx的图象．

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