三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题

函数y=的图象与函数y=2cos2x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于（　　）

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

解析

解：由于函数y==1+，可知其定义域为{x|x≠1}，其两条渐近线方程分别为：x=1，y=1．

函数y=2cos2x=，可得T==4（-3≤x≤5）．

画出图象：

可知：函数y=的图象与函数y=2cos2x的图象关于点（1，1）中心对称．

根据图象的对称性可得：yA+yD=yB+yC=2，

∴函数y=的图象与函数y=2cos2x（-3≤x≤5）的图象所有交点的纵坐标之和等于4．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

设，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵，

∴，

即．

由此可得，

∵，

∴=1-2=1-2×（-）2=．

故选：B

1

题型：单选题

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单选题

设f（sinx）=cos2x，则f（）=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵f（sinx）=cos2x=1-2sin2x，

∴f（x）=1-2x2（-1≤x≤1），

则f（）=．

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x，则它的最大值为（　　）

A

B+1

C

D+2

正确答案

D

解析

解：函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x

=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x+1

=2+sin2x+cos2x

=2+sin（2x+），

∵x∈R，∴-1≤sin（2x+）≤1，

则函数的最大值为2+．

故选D

1

题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，已知．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a=4，△ABC的面积为，求b的值．

正确答案

解：（1）△ABC中，由已知条件可得 2cosB（1-cosB）+2cos2B-1=0，解得cosB=，故 B=．（7分）

（2）由，求得 c=5，（10分）

再由余弦定理得，解得 b=．（14分）

解析

解：（1）△ABC中，由已知条件可得 2cosB（1-cosB）+2cos2B-1=0，解得cosB=，故 B=．（7分）

（2）由，求得 c=5，（10分）

再由余弦定理得，解得 b=．（14分）

1

题型：单选题

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单选题

已知tanα=3，则cos2α=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

D

解析

解：∵tanα=3，则cos2α====-，

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

若sin（-α）=-，α∈（-，π），则cos2α=______．

正确答案

解析

解：∵sin（-α）=-，

∴sin（α-）=，

∵α∈（-，π），

∴α-∈（-，），

∴cos（α-）=，

∴cosα=cos[（α-）+]

=cos（α-）cos-sin（α-）sin

=×-×

=．

∴cos2α=2cos2α-1

=2×-1

=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

若3sinx-sin（x+φ），φ∈（-π，π），则φ等于（　　）

A-

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵，

且φ∈（-π，π），，

得到．

故选A

1

题型：单选题

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单选题

已知cos=，540°＜α＜720°，则sin等于（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

A

解析

解：∵540°＜α＜720°，

∴270°＜＜360°，

135°＜＜180°，

∵cos=，

∴sin==．

答案：A．

1

题型：简答题

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简答题

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，-1）且∥．

（1）求锐角B的大小；

（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

正确答案

解：（1）∵=（2sinB，-），=（cos2B，2cos2-1），且∥，

∴2sinB•（2cos2-1）=-cos2B，即2sinBcosB=sin2B=-cos2B，

∴tan2B=-，

∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），

∴2B=，即B=；

（2）∵B=，b=2，

∴由余弦定理cosB=得：a2+c2-ac-4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），

则S△ABC的最大值为．

解析

解：（1）∵=（2sinB，-），=（cos2B，2cos2-1），且∥，

∴2sinB•（2cos2-1）=-cos2B，即2sinBcosB=sin2B=-cos2B，

∴tan2B=-，

∵B∈（0，），∴2B∈（0，π），

∴2B=，即B=；

（2）∵B=，b=2，

∴由余弦定理cosB=得：a2+c2-ac-4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），

则S△ABC的最大值为．

1

题型：填空题

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填空题

已知a＞0，且函数y=1-2sin2（ax）的最小正周期为π，则a=______．

正确答案

1

解析

解：y=1-2sin2（ax）=cos2ax，

∵函数的最小正周期T==π，

∴|2a|=2，即a=±1，

又a＞0，∴a=1．

故答案为：1

1

题型：单选题

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单选题

已知tanα=4，则的值为（　　）

A4

B

C4

D

正确答案

B

解析

解：======

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

设函数，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．

（Ⅰ）求g（t）的表达式；

（Ⅱ）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

正确答案

解：（ I）由于=sin2x-2t•sinx+t2+4t3-3t+3

=（sinx-t）2+4t3-3t+3．

由于（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t3-3t+3． …（6分）

（ II）我们有g′（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

由此可见，g（t）在区间和单调增加，在区间单调减小，

极小值为，极大值为． …（12分）

解析

解：（ I）由于=sin2x-2t•sinx+t2+4t3-3t+3

=（sinx-t）2+4t3-3t+3．

由于（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t3-3t+3． …（6分）

（ II）我们有g′（t）=12t2-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

由此可见，g（t）在区间和单调增加，在区间单调减小，

极小值为，极大值为． …（12分）

1

题型：填空题

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填空题

若sin（-α）=-，且α∈（0，），则cos（2α-）=______．

正确答案

解析

解：∵sin（-α）=-，且α∈（0，），则cos（-α）=，

∴cos2（-α）=2-1=，sin2（-α）=2sin（-α）cos（-α）=-．

cos（2α-）=cos（-2α）=-sin（-2α）=-sin[2（-α）-]=sin[-2（-α）]

=sincos2（-α）-cossin2（-α）=-=，

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cossinx+2sincosx

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）设g（x）=f（x-）+1，求直线y=2与y=g（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．

正确答案

解：∵函数f（x）=2cossinx+2sincosx

=2sin（x+），

∴f（x）=2sin（x+），

（1）令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，

∴+2kπ≤x≤+2kπ，

∴函数f（x）的单调递减区间[+2kπ，+2kπ]，（k∈Z），

（2）g（x）=f（x-）+1

=2sinx+1，

∴g（x）=2sinx+1，

∵2sinx+1=2，

∴2sinx=1，

∴sinx=，

∵x∈[0，π]，

∴x=或．

∴交点坐标（，2），（，2）．

解析

解：∵函数f（x）=2cossinx+2sincosx

=2sin（x+），

∴f（x）=2sin（x+），

（1）令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，

∴+2kπ≤x≤+2kπ，

∴函数f（x）的单调递减区间[+2kπ，+2kπ]，（k∈Z），

（2）g（x）=f（x-）+1

=2sinx+1，

∴g（x）=2sinx+1，

∵2sinx+1=2，

∴2sinx=1，

∴sinx=，

∵x∈[0，π]，

∴x=或．

∴交点坐标（，2），（，2）．

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