三角恒等变换_章节学习

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题型：填空题

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填空题

函数g（x）与函数f（x）=sin2（2x-）关于原点对称，则g（x）=______．

正确答案

-

解析

解：由于函数f（x）=sin2（2x-）==，函数g（x）与函数f（x）的图象关于原点对称，

故g（x）=-f（-x）=-，

故答案为：-．

1

题型：单选题

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单选题

（2013春•中山期末）cos2的值为（　　）

A-

B-

C

D

正确答案

D

解析

解：cos2=cos（2×）=cos=，

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

当-π≤x≤0时，函数最小值为（　　）

A-1

B-2

C

D0

正确答案

B

解析

解：由两角和的正弦公式化简可得

f（x）=2（sinx+cosx）

=2（sinxcos+cosxsin）

=2sin（x+），

∵-π≤x≤0，∴-≤x+≤，

∴-1≤sin（x+）≤，

∴-2≤sin（x+）≤，

∴原函数的最小值为-2

故选：B

1

题型：填空题

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填空题

已知cos2θ=，则sin4θ+cos4θ=______．

正确答案

解析

解：

==；

故答案为．

1

题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

正确答案

解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，

∵ω=2，∴T=π，

∴f（x）的最小正周期π；

当2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）时f（x）单调递增，

解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

则x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤，

当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，

则f（x）max=+1+a=2，

解得：a=1-，

令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）为f（x）的对称轴．

解析

解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，

∵ω=2，∴T=π，

∴f（x）的最小正周期π；

当2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）时f（x）单调递增，

解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

则x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；

（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤，

当2x+=，即x=时，sin（2x+）=1，

则f（x）max=+1+a=2，

解得：a=1-，

令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）为f（x）的对称轴．

1

题型：填空题

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填空题

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则的值等于______．

正确答案

-

解析

解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，

∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，

则cos（2α+）=sin2α===-．

故答案为：-

1

题型：单选题

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单选题

函数y=2cos2（x-）-1是（　　）

A最小正周期为π的奇函数

B最小正周期为2π的奇函数

C最小正周期为π的偶函数

D最小正周期为2π的偶函数

正确答案

A

解析

解：y=2cos2（x-）-1=cos（2x-）=sin2x，

∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

已知角θ的终边过点（4，-3），则cos2θ=______．

正确答案

-

解析

解：∵角θ的终边过点（4，-3），

∴cosθ==，

则cos2θ=2cos2θ-1=-．

故答案为：-

1

题型：单选题

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单选题

已知sin2α=，则cos2=（　　）

A

B-

C

D

正确答案

C

解析

解：∵sin2α=，

∴cos2===．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

化简cos2（-α）-sin2（-α）得到（　　）

Asin2α

B-sin2α

Ccos2α

D-cos2α

正确答案

A

解析

解：cos2（-α）-sin2（-α）=cos（-2α）=sin2α；

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

已知，则等于（　　）

A3

B6

C12

D

正确答案

A

解析

解：

=

==2tanα+2．

∵，

∴=．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知，则sin4θ-cos4θ的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵cos2θ=cos2θ-sin2θ=，

∴sin4θ-cos4θ=（sin2θ+cos2θ）（sin2θ-cos2θ）=-（cos2θ-sin2θ）=-．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为（　　）

A

B-

C-

D-

正确答案

B

解析

解：把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m2，

又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，

又α为第三象限角，∴m=

故选：B

1

题型：单选题

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单选题

函数的一个单调递减区间是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：函数

=sin2x+（1+cos2x）-

=sin2xcos+cos2xsin

=sin（2x+），

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得：kπ+≤x≤kπ+，

又是的子集，

则函数f（x）的一个单调区间是．

故选C

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题型：填空题

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填空题

若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）+2coscos2α的值为______．

正确答案

0

解析

解：∵tanα+=，α∈（，），∴tanα=3，或tanα= （舍去），

则sin（2α+）+2coscos2α=sin2αcos+cos2αsin+•

=sin2α+cos2α+=•+•+=•+•+

=•+•+=0，

故答案为：0．

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