三角恒等变换_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知tan（a-45°）=2，则tana=______．

正确答案

-3

解析

解：∵tan（a-45°）=2，则tana=tan[（a-45°）+45°]=

==-3，

故答案为：-3．

1

题型：单选题

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单选题

在三角形ABC中，若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则三角形是（　　）

A等边三角形

B直角三角形

C等腰三角形

D等腰直角三角形

正确答案

A

解析

解：∵-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1，

当其中有1项结果＜1时，就会出现cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）＜1，

∴若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，

只有1种情况成立，即cos（A-B）=1，cos（B-C）=1，cos（C-A）=1，

∴A=B=C=60°，

∴三角形ABC为等边三角形

故选A

1

题型：单选题

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单选题

已知sinθ+cosθ=-，则tan（θ-）=（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵sinθ+cosθ=-，两边平方可得 1+2sinθcosθ=2，

即 sin2θ=1，∴2θ=2kπ+，k∈z，

∴θ=kπ+，k∈z．

∴tanθ=1，tan（θ-）===，

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

已知0＜α＜，cosα=，tanβ=．求下列式子的值：

（1）tanα；

（2）cos（π-α）-sin（α+）；

（3）tan（α-2β）．

正确答案

（本小题满分12分）

解：（1）∵sin2α+cos2α=1，0＜α＜，cosα=，

∴sinα==，

∴tanα=； …（4分）

（2）cos（π-α）-sin（α+）=-cosα-cosα=-； …（8分）

（3）∵tanβ=，∴tan2β===．…（10分）

∴tan（α-2β）===．…（12分）

解析

（本小题满分12分）

解：（1）∵sin2α+cos2α=1，0＜α＜，cosα=，

∴sinα==，

∴tanα=； …（4分）

（2）cos（π-α）-sin（α+）=-cosα-cosα=-； …（8分）

（3）∵tanβ=，∴tan2β===．…（10分）

∴tan（α-2β）===．…（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知α，β为锐角，，，求α+2β．

正确答案

解：因为β为锐角，sinβ=，所以cosβ=，则tanβ=，

而tan2β===＜1，得到0＜2β＜，且＜，得到0＜α＜，

则tan（α+2β）===1，

由α，β为锐角，得到α+2β∈（0，），所以α+2β=．

解析

解：因为β为锐角，sinβ=，所以cosβ=，则tanβ=，

而tan2β===＜1，得到0＜2β＜，且＜，得到0＜α＜，

则tan（α+2β）===1，

由α，β为锐角，得到α+2β∈（0，），所以α+2β=．

1

题型：单选题

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单选题

在△ABC中，若＞•+•+•，则△ABC是（　　）

A不等边三角形

B三条边不全等的三角形

C锐角三角形

D钝角三角形

正确答案

D

解析

解：∵在△ABC中＞•+•+•，

∴＞•-•+•

∴＞•（-）+•

∴＞+•

∴•＜0，

∴∠C＞90°

∴△ABC为钝角三角形

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C等腰三角形

D等腰三角形或直角三角形

正确答案

D

解析

解：原式tanA•sin2B=tanB•sin2A，

变形为：=，

化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，

即sin2A=sin2B，

∵A和B都为三角形的内角，

∴2A=2B或2A+2B=π，

即A=B或A+B=，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C钝角三角形

D等边三角形

正确答案

B

解析

解：在△ABC中，∵sin2C=sin2A+sin2B，

∴由正弦定理得：c2=a2+b2，

∴△ABC为直角三角形，

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

△ABC中，已知3b=2asinB，且cosA=cosC，求证：△ABC为等边三角形．

正确答案

解析

证明：△ABC中，3b=2asinB，

∴由正弦定理得：3sinB=2sinAsinB，

又sinB＞0，

∴sinA=，又A∈（0，π），

∴A=或；

又cosA=cosC，

∴A=C=，

∴B=．

即：△ABC为等边三角形．

1

题型：填空题

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填空题

已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是______．

正确答案

等边三角形

解析

解：∵在△ABC中，b=c=6，∴△ABC为等腰三角形，

又bccosA=36cosA=18，

∴cosA=，A∈（0，π），

∴A=．

∴△ABC为等边三角形，

故答案为：等边三角形．

1

题型：单选题

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单选题

已知直线l：xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan（a+β）=（　　）

A

B

C

D1

正确答案

D

解析

解：根据题意得：tanα=2，tanβ=-，

则tan（a+β）===1．

故选D

1

题型：单选题

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单选题

若+=0，则△ABC为（　　）

A直角三角形

B钝角三角形

C锐角三角形

D等边三角形

正确答案

A

解析

解：△ABC中，∵+=0，∴（）=0，即 =0，故有，

∴∠A=，∴△ABC为直角三角形，

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果满足条件（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），且A≠B，求证：△ABC是直角三角形．

正确答案

证明：原式化为 a2[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，

即 a2[sin（A+B）-sin（A-B）]=b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，

故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB，由正弦定理可得 2sin2AcosA•sinB=2sin2BsinAcosB，

∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，

sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．

∵A-B≠0，∴sin（A-B）≠0，∴cos（A+B）=0，故-cosC=0，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．

解析

证明：原式化为 a2[sin（A-B）-sin（A+B）]=-b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，

即 a2[sin（A+B）-sin（A-B）]=b2[sin（A-B）+sin（A+B）]，

故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB，由正弦定理可得 2sin2AcosA•sinB=2sin2BsinAcosB，

∵0＜B＜π，0＜A＜π，∴sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，

sin2A-sin2B=0，∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．

∵A-B≠0，∴sin（A-B）≠0，∴cos（A+B）=0，故-cosC=0，∴C=90°，∴△ABC是直角三角形．

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若acosB-bcosA=c，则△ABC是______三角形．

正确答案

直角

解析

解：∵△ABC中，acosB-bcosA=c，

∴由正弦定理==

得：sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，

∴sinBcosA=0，又sinB＞0，

∴cosA=0，而0＜A＜π，

∴A=．

∴△ABC是直角三角形．

故答案为：直角．

1

题型：单选题

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单选题

在△ABC中，••，则△ABC的形状为（　　）

A直角三角形

B等边三角形

C三边均不相等的三角形

D等腰非等边三角形

正确答案

D

解析

解：在△ABC中，∵（+）•=0，

∴∠A的角平分线AD与BC垂直，

∴△ABC为等腰三角形；

又•=1×1×cosB=，

∴cosB=≠，

∴∠B≠，

∴△ABC为等腰非等边三角形．

故选D．

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