三角恒等变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB-bcosA=c，则△ABC是（　　）

A锐角三角形

B直角三角形

C钝角三角形

D等腰三角形

正确答案

B

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（　　）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D等腰三角形

正确答案

B

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题型：简答题

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简答题

设α为锐角，若，求的值．

正确答案

解：∵α为锐角，若，∴α+为锐角，∴sin（α+）=．

∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=，cos（2α+）=2-1=，

∴=sin（2α+-）=sin（2α+）cos-cos（2α+）sin=-=．

解析

解：∵α为锐角，若，∴α+为锐角，∴sin（α+）=．

∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=，cos（2α+）=2-1=，

∴=sin（2α+-）=sin（2α+）cos-cos（2α+）sin=-=．

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题型：简答题

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简答题

若sin（x+）+cos（x+）=，且-＜x＜0，求sinx-cosx．

正确答案

解：∵sin（x+）+cos（x+）=，

∴sin（x+）+cos（x+）=，

∴sin（x++）=，即sin（x+）=，

∵-＜x＜0，∴-＜x+＜，

∴cos（x+）==，

∴sinx-cosx=-（cosx-sinx）

=-cos（x+）=-×=-

解析

解：∵sin（x+）+cos（x+）=，

∴sin（x+）+cos（x+）=，

∴sin（x++）=，即sin（x+）=，

∵-＜x＜0，∴-＜x+＜，

∴cos（x+）==，

∴sinx-cosx=-（cosx-sinx）

=-cos（x+）=-×=-

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题型：填空题

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填空题

已知，，且x，y为锐角，则sin（x-y）=______．

正确答案

解析

解：由，，

分别两边平方得：sin2x+sin2y-2sinxsiny=①，cos2x+cos2y-2cosxcosy=②，

①+②得：2-2（cosxcosy+sinxsiny）=，所以cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny=，

由＜0，且x，y为锐角，所以x-y＜0，则sin（x-y）=-=-．

故答案为：-

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题型：简答题

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简答题

已知x1，x2是函数f（x）=4cosωxsin（ωx+）+1两相邻零点，且满足|x1-x2|=π，其中ω＞0．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[-，]上的最大值与最小值．

正确答案

解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）+1=2sinωxcosωx+2cos2ωx+1=2（sin2ωx+cos2ωx）+2=2sin（2ωx+）+2，

∵|x1-x2|=π，

∴T=π，

∴ω=1．

（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+）+2，

∵x∈[-，]，

∴-≤2x+≤，

∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值4，

当2x+=-，即x=-时，f（x）取最小值1．

解析

解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）+1=2sinωxcosωx+2cos2ωx+1=2（sin2ωx+cos2ωx）+2=2sin（2ωx+）+2，

∵|x1-x2|=π，

∴T=π，

∴ω=1．

（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+）+2，

∵x∈[-，]，

∴-≤2x+≤，

∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值4，

当2x+=-，即x=-时，f（x）取最小值1．

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题型：填空题

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填空题

在锐角三角形ABC中，sinA=，tan（A-B）=-，则cosC的值______．

正确答案

解析

解：∵在锐角三角形ABC中sinA=，

∴cosA==，

∴tanA==，

∴tanB=tan[A-（A-B）]

===，

∴tanC=-tan（A+B）=-=-，

∴cosC==

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题型：填空题

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填空题

函数f（x）=sinx-cos（x+）的值域为______．

正确答案

[-，]

解析

解：∵f（x）=sinx-cos（x+）

=sinx-cosx+sinx

=-cosx+sinx

=sin（x-）．

∴函数f（x）=sinx-cos（x+）的值域为[-，]．

故答案为：[-，]．

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题型：简答题

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简答题

设f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期T=π，最大值f（）=4．

（1）求ω，a，b的值；

（2）若α，β为方程f（x）=0的两根，α，β终边不共线，求tan（α+β）的值．

正确答案

解：（1）由于，∴T=π=，∴ω=2．

又∵f（x）的最大值为f（）=4，∴①，且asin+bcos=4 ②，

由 ①、②解出 a=2，b=2，f（x）=2sin2x+2cos2x．

（2）∵，∴由题意可得f（α）=f（β）=0，∴，

∴，或，

即α=kπ+β（α，β共线，故舍去）或，∴（k∈Z）．

解析

解：（1）由于，∴T=π=，∴ω=2．

又∵f（x）的最大值为f（）=4，∴①，且asin+bcos=4 ②，

由 ①、②解出 a=2，b=2，f（x）=2sin2x+2cos2x．

（2）∵，∴由题意可得f（α）=f（β）=0，∴，

∴，或，

即α=kπ+β（α，β共线，故舍去）或，∴（k∈Z）．

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题型：填空题

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填空题

sin47°cos17°-cos47°cos73°=______．

正确答案

解析

解：sin47°cos17°-cos47°cos73°

=sin47°cos17°-cos47°cos（90°-17°）

=sin47°cos17°-cos47°sin17°

=sin（47°-17°）=sin30°=

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

sin152°cos32°+cos28°sin32°=______．

正确答案

解析

解：原式=sin28°cos32°+cos28°sin32°

=sin（28°+32°）

=sin60°

=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若α，β∈（0，）且tanα=，tanβ=，则tan（α+β）等于（　　）

A-1

B1

C

D-

正确答案

B

解析

解：∵tanα=，tanβ=，

∴tan（α+β）==．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°-1，c=．则a，b，c的大小关系是（　　）

Ac＜a＜b

Ba＜c＜b

Cb＜a＜c

Dc＜b＜a

正确答案

A

解析

解：∵a=（sin17°+cos17°）=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°，

b=2cos213°-1=cos26°=sin64°，c=sin60°=，

再根据函数y=sinx在（0°，90°）上单调递增，

∴b＞a＞c，

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosC=，设向量=（2sinB，-），=（cos2B，1-2sin2），且∥，求sin（B-A）的值．

正确答案

解：∵在△ABC中，cosC=，

∴sin（A+B）=sinC==，

∴cos（A+B）=-cosC=-，

又∵=（2sinB，-），=（cos2B，1-2sin2），且∥，

∴2sinB（1-2sin2）=-cos2B，

∴-2sinBcosB=-cos2B，

∴sin2B=cos2B，即tan2B==，

∴2B=，∴sin2B=，cos2B=

∴sin（B-A）=sin[2B-（A+B）]

=sin2Bcos（A+B）-cos2Bsin（A+B）

=

=．

解析

解：∵在△ABC中，cosC=，

∴sin（A+B）=sinC==，

∴cos（A+B）=-cosC=-，

又∵=（2sinB，-），=（cos2B，1-2sin2），且∥，

∴2sinB（1-2sin2）=-cos2B，

∴-2sinBcosB=-cos2B，

∴sin2B=cos2B，即tan2B==，

∴2B=，∴sin2B=，cos2B=

∴sin（B-A）=sin[2B-（A+B）]

=sin2Bcos（A+B）-cos2Bsin（A+B）

=

=．

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题型：单选题

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单选题

下列等式中正确的是（　　）

Asin45°cos15°-cos45°sin15°=

Bsin45°cos15°-cos45°sin15°=

Ccos45°cos15°+sin45°sin15°=

Dcos45°cos15°+sin45°sin15°=-

正确答案

A

解析

解：利用两角和差的三角公式可得

sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin（45°-15°）=sin30°=，

sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，

故选：A．

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