热门试卷

依题意可知（2+λ）（1+λ）＞0，求得λ＜-2或λ＞-1；

故λ的范围为λ＜-2或λ＞-1．

∵抛物线过原点，且顶点在第一象限，

∴c=0，且，

即a＜0，b＞0，c=0，

∴a=-3，c=0时，b=1，2，3，有3条，

a=-2，c=0时，b=1，2，3，有3条，

a=-1，c=0时，b=1，2，3，有3条，

∴这样的抛物线有3+3+3=9条．

（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1-，

因此学生甲收到活动信息的概率是1-（1-）2=

（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1

当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为=

P（X=M）==

当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m-k+1）2≤（n-m）（2k-m）⇔m≤2k-

假如k≤2k-＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，

k≤2k-＜2k+1-＜t，故P（X=M）在m=2k-和m=2k+1-处达到最大值；

当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k-[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），

下面证明k≤2k-＜t

因为1≤k＜n，所以2k--k=≥=≥0

而2k--n=-＜0，故2k-＜n，显然2k-＜2k

因此k≤2k-＜t

（1）∵集合A={2，4，6，8，10}，B={1，3，5，7，9}，

在A中任取一元素m和在B中任取一元素 n，组成数对（m，n），

先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，

根据分步计数原理知共有5×5=25个不同的数对；

（2）在上一问做出的25个数对中所取两数m＞n的数对

可以分类来解，

当m=2时，n=1，有1种结果，

当m=4时，n=1，3有2种结果，

当m=6时，n=1，3，5有3种结果，

当m=8时，n=1，3，5，7有4种结果，

当m=10时，n=1，3，5，7，9有5种结果，

综上所述共有1+2+3+4+5=15种结果

（3）由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件数25，满足条件的事件数是15

根据古典概型概率公式得到p==0.6．

（1）由于未要求各位数字不重复，∴一位数有5个，二位数有4×5=20个，三位数有4×52=100个，四位数有4×53=500个，五位数有4×54=2500个，

∴此时A中共有元素5+20+100+500+2500=3125个；

（2）依题意，即求由0、1、2、3、4这五个数字组成的各位数字不重复的四位数的个数．

∵0不能排在首位，∴这样的数共有4=96个，

同理符合条件的五位数也有4=96个，即B中至多有192个元素．

见解析

若，不妨设，则，故．

由Fermat小定理，，得，即．易验证素数对不合要求，，合乎要求．       

若为奇数且，不妨设，则，故．

当时素数对合乎要求，当时，由Fermat小定理有，故．由于为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以．经检验素数对合乎要求．

若都不等于2和5，则有，故

．                ①

由Fermat小定理，得        ，                ②

故由①，②得

．                 ③

设，，其中为正整数．

若，则由②，③易知

，

这与矛盾！所以．       

同理有，矛盾！即此时不存在合乎要求的．

综上所述，所有满足题目要求的素数对为

，，，，，及．

法一用分类计数原理．

因为A∪B={0，1}，所以A⊆{0，1}．

若A=∅，则B={0，1}，只有1组；

若A={0}，则B={1}或{0，1}，共2组；

若A={1}，则B={0}或{0，1}，共2组；

若A={0，1}，则B=∅或{0}或{1}或{0，1}，共4组．

根据分类计数原理知，满足A∪B={0，1}的集合A、B共有1+2+2+4=9（组）．

法二：用分步计数原理．A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”．

第1步，放“0”，共有“只放入A”，“只放入B”，“既放入A也放入B”3种情形；

第2步，放“1”，同上，也共有3种情形．

根据分步计数原理知，满足A∪B=0，1的集合A、B共有3×3=9（组）．