- 数系的扩充与复数的引入
- 共217题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？______（用数字作答）．
正确答案
由题意，一共可坐的位子有20个，2个人坐的方法数为
把可坐的20个座位排成连续一行（甲与乙相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有
故答案为：346．
7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头；
（2）甲、乙、丙三人必须在一起；
（3）甲、乙、丙三人两两不相邻；
（4）甲不排头，乙不排当中．
正确答案
（1）甲固定不动，其余有
（2）先排甲、乙、丙三人，有
（3）先排甲、乙、丙之外的四人，有
这五个空位，有
（4）不考虑限制条件有
将4个不同的小球放入4个不同的盒子内，恰有两个空盒的放法有______种．
正确答案
恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，先选出两个空盒，有
其中4个不同的小球放入同一盒子里有两种放法，
∴将4个不同的小球放入4个不同的盒子内，恰有两个空盒的放法有6×（16-2）=84种．
故答案为：84．
以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有______种不同的选法．
正确答案
因为U，Φ都要选出
而所有任意两个子集的组合必须有包含关系
故各个子集所包含的元素个数必须依次递增
而又必须包含空集和全集
所以需要选择的子集有两个
设第二个子集的元素个数为1
有（a）（b）（c）（d）四种选法
（1）第三个子集元素个数为2
当第二个子集为（a）时
第三个子集的2个元素中必须包含a
剩下的一个从bcd中选取
有三种选法
所以这种子集的选取方法共有4×3=12种
（2）第三个子集中包含3个元素
同理三个元素必须有一个与第二个子集中的元素相同
共有4×3=12种
（3）第二个子集有两个元素
有6种取法
第三个子集必须有3个元素且必须包含前面一个子集的两个元素
有两种取法
所以这种方法有6×2=12种
综上一共有12+12+12=36种
故答案为：36．
将某四名同学分别保送到清华、北大和复旦等三所大学深造，每所学校至少保送1人，则不同的保送方案共有______种．
正确答案
分两步进行，先把4名学生分为2-1-1的三组，有C42=6种分法，
再将3组对应3个学校，有A33=6种情况，
则共有6×6=36种保送方案；
故答案为36．
从颜色不同的5个球中任取4个放入3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为 ______．（用数字作答）
正确答案
由题意知，本题是一个分步计数问题，
首先从颜色不同的5个球中任取4个，共有C54种结果，
把这四个球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，
则可以从四个球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，共有C42A33种结果，
根据分步计数原理知共有C54C42A33=180，
故答案为：180
（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？
（2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，
①其中奇数位置上的数字只能是奇数，问有多少个这样的5位数？
②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数？
正确答案
（1）由题意知 本题是一个分类计数问题．
4位数有：4A93=2016个
3位数有：9A92=648个
2位数有：9×9=81个
1位数有：10个
所以比5000小且没有重复数字的自然数有10+81+648+2016=2755个
（2）由题意知本题是一个分步计数问题，
①在奇数位上排列3个奇数，有A53
再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A62
共
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A42
再在剩余三位上排其他7个数中的3个有A73
有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
正确答案
（1）729种 （2）120种 （3）216种
(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36＝729种．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法6×5×4＝120种．
(3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．
将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有 ______种．
正确答案
由题意知本题是一个分类计数问题，
每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，
每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3
当安照2，2，1安排时，共有C52C32A33=90，
当按照1，1，3安排时，有C53A33=60，
其中包括甲和乙在一个馆里的情况，
当甲和乙在同一个馆里时，共有C32A33+C32A33=36，
∴满足条件的排列法共有90+60-36=114，
故答案为：114
某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？
正确答案
42种
解：5个节目排好后，有6个空可插入第一个节目，共6种不同的插法，再插第二个节目时有7个空，所以共有6×7＝42种不同的插法．
已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
正确答案
（1）36 （2）6 （3）30
解：(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．
(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．
(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．
设随机事件A、B， 
正确答案
略
略
英文字母3个C和4个D排成一排，共有______种不同的排法．（用数字作答）
正确答案
根据含有重复元素的排列数的计算方法可得，英文字母3个C和4个D排成一排，共有
故答案为 35．
在1到20这20个整数中，任取两个数相减，差大于10，共有几种取法？
正确答案
45(种)
解：由题意知，被减数可以是12,13,14,15,16,17,18,19,20共9种情况，当被减数依次取12,13，…，20时，减数分别有1,2,3，…，9种情况，由分类加法计数原理可知，共有1＋2＋3＋…＋9＝45(种)不同的取法．
从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有______种（用数字作答）．
正确答案
代表中没有女生的选法共有
故代表中必须有女生，则不同的选法有84-10=74种，
故答案为 74．
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