- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共108题
正确答案
40°
解析
解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
又∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°．
∵
故答案为40°．
（2015春•哈尔滨校级期中）在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（ ）
正确答案
解析
解：设内接矩形的长和宽为x和y，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径
故x2+y2=16，
∴x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时等号成立）
∴xy≤8
即矩形的面积的最大值值为8
故选D
求证：
（1）P，D，C，E四点共圆；
（2）AP⊥CP．
正确答案
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
解析
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
直线x+3y-7=0与kx-y-2=0与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k=（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
如图所示，可得四边形OACB是圆内接四边形．
则直线BC⊥AB．
∴
故选B．
（I ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（II）若KE=EH，CE=3求线段 KM 的长．
正确答案
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
解析
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
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